Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
показывают, что существует подпространство, образованное векторами ф,
92
ГЛ, III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
удовлетворяющими уравнению
Сф = 0, (2.71)
и что это подпространство инвариантно по отношению к операторам
наблюдаемых величин. Условие (2.71) заменяет классическое уравнение С =
0, а построенное подпространство является истинным пространством
состояний нашей физической системы.
Для описания динамики не обязательно работать в физическом
подпространстве. Проще рассматривать оператор ехр {-Hit} в полном
пространстве и накладывать условие (2.71) только на состояния, между
которыми вычисляются матричные элементы. В силу коммутативности Н
и С такая процедура законна. Чтобы перейти
к S-матрице, заметим, что для асимптотических состоя-
ний условие (2.71) упрощается. Можно показать, что
lim е1Н^С (a) e~iHat = CQ (а) + О (1), (2.72)
j t I -> ОО
где
С0 (а) = - у ^ *r dk<° k (*' ^ а М (2-73)
- генератор линеаризованных калибровочных преобразований:
bS'k = 0; bsik = дка (х), (2.74)
и Н0 - свободный оператор энергии,
Н0 - -j tr ^ (<Wk + (dks&t - cfx. (2.75)
Действительно, разность С (а) и С0 (а), имеющая вид С1 (а) = tr ^ \&ь
sik\ a d6x (2.76)
квадратична по полям si и § и поэтому коэффициентные функции оператора
ехр {-iHot}C\ (ос) ехр {iH0i} убывают при | f| -> оо. Оператор С0
коммутирует с Я0 и S-матрицей. Это показывает следующая формальная
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
93
выкладка:
SC0- lim =
t"-+ + oo t' oo
= lim eiHat"e-in Ce~iHi>t' =
oo
t ' -" - oo
= lim eiH>t"Ce~iH-
t' 00
= lim С0е1Н,>1"е~ш (t"-t')e~iHi't' = C05. (2.77)
00
Векторы состояния яр (а/), удовлетворяющие асимптотическому условию
С0ф = °> (2.78)
даются формулой
ф (а*) = ехр { у jj a*L (k) aL (k) d3k j ф (a*T), (2.79)
где aL и ат обозначают компоненты a(k), параллельные и ортогональные
вектору k соответственно. Как видно, векторы ф(а*) фактически зависят
лишь от двух поляризаций. По доказанному выше это подпространство
является инвариантным для 5-матрицы.
На языке континуального интеграла приведенные рассуждения
переформулируются следующим образом.
5-матрица в полном пространстве определяется континуальным интегралом
5 = ^Нт $ ехр d?Jk Т 1-а*Ь ^ +
i'-> - 00
+ а*ь (k, t') а\ (k, /')] +
t'
+ i ^ dt ^ d3x ( - -i-) tr [&i (x, t) dt (x, t) - S, (x, t) dt (x, t)-
t"
ddi d?t. (2.80)
X, t
Выполняя интегрирование по получаем
5= ^ ехр | ^ dx[- S'/)]} Д dstk, (2.81)
Л -+Л in х
к к, out
94 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
где, в отличие от аналогичной формулы в кулоновской калибровке, граничные
условия накладываются на все три компоненты Жь-
Действие, стоящее в экспоненте, можно привести к релятивистски-
инвариантному виду, введя формально интегрирование по Тогда получим
5 = ^ ехр ^ dx[-g-tr ^3^] j Дб(^0)^ц.
I n X
k out
(2.82)
Этот интеграл также допускает интерпретацию в духе принципа
относительности. Он представляет собой интеграл по классам калибровочно-
эквивалентных полей при другом калибровочном условии, определяющем выбор
представителей. По сравнению с кулоновским случаем мера интегрирования
выглядит проще и не содержит детерминанта.
Пропагатор для диаграммной техники имеет вид
Dim = - ^ е~**± [бгт + (jk%m - kikm)(k2 + ЮГ1] dk.
(2.83)
Для вычисления следует решить уравнения
дц (дц*^/г - "Ь ^ k = •S^O = 0, (2.84)
которые при наших граничных условиях имеют решение ^fc = <s40)+ \D^{x-
y)Sti{y)dy. (2.85)
Эта формула показывает, что так же, как и в кулонов-ском случае,
распространяются во времени лишь трехмерно поперечные составляющие а1-
§ 3. Ковариантные правила квантования и фейнмановская диаграммная техника
Как уже отмечалось, полученное в предыдущем параграфе выражение для 5-
матрицы не является явно ко-вариантным. Это неудобно для вычислений по
теории возмущений, в особенности для проведения перенормировок. Метод
континуального интеграла позволяет изба-
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
95
виться от этого недостатка. Принцип относительности подсказывает, что для
этого нужно перейти к реляти-вистски-инвариантной параметризации классов
калибровочно-эквивалентных полей, т. е. выбрать релятивистски-
инвариантную калибровку. Простейшим релятивистски-инвариантным
калибровочным условием является условие Лоренца
= (3.0
Покажем, как, исходя из уже известного выражения для S-матрицы в
кулоновской калибровке (2.40), можно перейти к лоренцевой калибровке. С
геометрической точки зрения мы должны перенести меру, заданную на
поверхности Фс = dkS4-k - 0, на поверхность = = - 0 вдоль
траекторий калибровочной группы.
Формально это можно сделать, используя следующий прием. Введем функционал
Дт(Л), исходя из условия
ДL И) J П 6 <*" = 1, (3'2)
X
где интегрирование ведется по мере Ц das (х), и das -
X
инвариантная мера на группе П:
d (coco0) = d (as°as) - das. (3.3)
Функционал Al{s&), очевидно, калибровочно-инвариантен:
AL(sT)=AL(a), (3.4)
что непосредственно следует из инвариантности меры интегрирования.
Пользуясь соотношением (3.2), выражение для S-матрицы (2.46) можно
