Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ <4-56) участвующего в уравнении (4.45).
Дальнейшие преобразования выражения (4.36) буквально повторяют
рассуждения из § 3 гл. II. В результате для нормального символа 5-матрицы
мы получаем окончательное явно релятивистское выражение
SU<0), а<°>) =
= ^ ехр | i ^ 9? (х) dx | JJ Jmi + ¦§¦ст) dA^ da, (4.57)
Л->А;П V ) х
out
a-"oin
out
где
s=-\ (dvAau - дЖ + ЖЬСАЖУ + ^Al +
1 ml " m,p " g2 9 "
~\~ 2~ ^-2- "t" "8 a 11 -
"2 2
(4.58)
4m j 32 m\
Асимптотические условия для полей а имеют вид, аналогичный (II. 3.47):
стщ (х) = Ш* \ (a,,. in (k) e-^+al, in (k)e^\\
out Ч2ЯУ out out /U0=fi)jV2 СЙ2
(4.59)
гДе < out (fe) = aa (k)\ aa> in (k) = aa (k). Асимптотические условия для
полей Аь даны в (4.54), (4.55).
Квадратичная форма в действии \ 3? (x) dx определена как
± \ (Л, - Л<0)) (n^v + g^mf) (Л, - Л<0)), (4.60)
120 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
где оператор (D^v + т\ё^) снабжен фейнмановскими граничными условиями.
Производящий функционал для функций Грина
z (/, л) = ^ ехР { 15 № М + J"A* + orTi)dx } X
X П (m! + т а)3 ds^v- da (4-61)
X
и вытекающая из него диаграммная техника теории возмущений содержат
некоторые новые элементы. Во-первых, функция распространения векторного
поля (4.50), которую можно переписать в виде
D'" (х - у) = (^г)' 5 <•"<-"(""- ^) X
X 73^-5 А (4'62>
более сингулярна при х ~ у, чем встречавшиеся нам до сих пор функции
Грина. Действительно, ее продольная часть
kpkv 1
2 ,2 2 " (4.63)
т\ k - m j + ?0
не убывает при больших k, так что ее вклад в пропага-
тор имеет сингулярность силы 6(4)(х). Во-вторых, мера
интегрирования содержит локальный множитель detAlq,. Его можно формально
записать в виде
det МФ = Д (mi + у а (*))3 =
= const • ехр | V ^ In (mi + dx =
= const • exp j 6<4> (0) 5 (^r)" dx\ j • (4-64)
V= J dx = 6^ (0).
В рамках теории возмущений такая добавка к действию порождает новые
диаграммы, вклад которых пропорционален степеням 6(4)(0) (конечно, это
выражение
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
121
следует понимать в смысле некоторой объемной регуляризации). Роль этих
диаграмм состоит в том, чтобы компенсировать сингулярные части других
диаграмм, возникающих в теории возмущений. Такие сингулярности возникают
при произведении 6-образных вкладов в функции Грина векторных частиц.
Оба отмеченных отличия диаграммной техники для лагранжиана (4.58)
показывают, что она содержит неудобные сингулярности. Поэтому
рассматриваемую модель удобнее исследовать в лоренцевой калибровке, или
а-калибровке, которые можно просто ввести, пользуясь уже знакомыми нам
приемами. Роль же рассмотренной калибровки (которую часто называют
унитарной) состоит в том, что она явно релятивистски инвариантно задает
спектр частиц и асимптотические состояния модели. В этом смысле она
заменяет нам кулоновскую калибровку теории Янга - Миллса в пустоте.
Мы не будем еще раз описывать процедуру перехода к а-калибровке, которая
не требует в данном случае новых соображений, так как поле <3^/1 ^ не
распространяется. Нормальный символ S-матрицы задается континуальным
интегралом
S-ЛГ1 ^ ехр {/$(<?(*)+ -^(3^)2)^}x
Л 'ш^,Л[п out
X det Ma Д d"A d$ do, (4.65)
Я
где
24*) = - т KvKv + К + mi + Т +
+ | --^ + -§Л* (од^-В^о-е^В^В') +
2 2 , m\8 ,2 , S ( 2 , D2\ "2 8n 2 /2l D2\
+ -2~ ^ IT ^ "t" ' ^ - ~4пц a(° + ^ -
2 2
- Itt (°2 + B2)2> (4-66)
32m j
и
Mau, = Mu=Uu - gd^ и]. (4.67)
122 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
Асимптотические условия на/lj и а те же, что и выше. Поля ду.А^, Ва и
фиктивные частицы са, са, участвующие в определении det М, не
распространяются. При построении диаграммной техники для них удобно (но
не обязательно) использовать фейнмановские граничные условия.
Производящий функционал для функций Грина стандартно строится по
выражению (4.65) для S-матрицы.
Диаграммная техника в а-калибровке общего вида несколько громоздка из-за
наличия смешанных функций
I 1
распространения А^,В°. При вычислениях наиболее удобно пользоваться
лоренцевой калибровкой а = 0. В этой калибровке диаграммная техника
содержит следующие элементы:
1. Линии векторной частицы соответствует функция распространения
к tab Г S\iv ~~ г ~|
''v |_ k2 - tn\ + /0 J
(4.68)
2. Функции распространения фиктивных частиц с, с и вершины их
взаимодействия с векторной частицей те же, что для поля Янга - Миллса в
пустоте.
3. Линиям скалярных частиц Ва и а соответствуют функции распространения
а к b ьаЪ .. с_.
------------------------ ¦pqiTo' (4.69)
----------*-------------------- !=---. (4.70)
k - т\-\- /О
4. Многочисленные вершины взаимодействия полей $ и о, которые легко
выписываются по лагранжиану (4.66).
Формулы приведения выглядят обычным образом, и мы опишем их словами.
Внешние концы в функциях Грина следует брать лишь для векторных частиц и
частиц поля а. Каждый конец, соответствующий векторному полю, умножается
на - mf) и на вектор поляризации и^ (*/)¦ Каждый конец, соответствующий
полю а,
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ с полями материи
