Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
квантовом случае S-матрица, построенная по гамильтониану Н в большом
пространстве, где действуют все поля At, Е%, "ф0, фа, коммутирует с
оператором Со {х):
[S, С0а(х)] = О. (4.11)
Другими словами, и при наличии полей материи рассеиваются только кванты
этих полей и трехмерно поперечные кванты полей Янга-Миллса.
Подчеркнем, что эти выводы, так же, как и выше, основаны на линеаризации
связи Са(х) при больших временах. В рамках теории возмущений такая
линеаризация выглядит вполне убедительно и мы исходим из того, что она
имеет место. В то же время мы не можем исключить, что вне рамок теории
возмущений линеаризации нет. Модели заключения кварков могут быть
основаны именно на таком обстоятельстве.
Возвращаясь к нашей S-матрице, запишем ее в виде континуального интеграла
S- ^ ехр | г ^ 9? (х) dx j Д б (s&0) ds4- t/ф dty (4.12)
out
out
и проведем с этим интегралом преобразования, уже описанные в § 3:
1. Интегрирование по &~к0;
2. Переход к обобщенной лоренцевой калибровке
фц = (х) + а {х) = 0
при помощи формулы
6(^о) dsl^ -> d\L(s4-) б -j- a) dsi-^. (4.13)
3. Интегрирование по вспомогательной функции а(х) с гауссовым весом ехр]
-j- tr \d1(x)dx\.
112
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
Мы получим выражения как для S-матрицы, так и для производящего
функционала функций Грина в а-калибровке, которые отличаются от формул
(3.54), (3.56) только присутствием полей ф, ф в лагранжиане и в членах с
источниками.
Диаграммная техника содержит помимо уже введенных выше элементовG^v, G,
Vл1, Va<, VcSa, еще спинор-ную линию
Р<-------------=S=~m2_pt_.Q (4.14)
и вершину
=: = g\\xT {ta)' (4.15)
Вследствие уже отмечавшихся особенностей интегрирования по ферми полям,
каждый фермионный цикл вносит дополнительный множитель (-1). В формулах
приведения спинорные концы умножаются на _ з_
(2я) 2 Hi (Уц&и, - т) 6 (" ^о) для выходящей частицы и на з
(2я) 2 (ур,^ - т) ufi (k0) для входящей частицы. Для античастиц нужно
заменить ы" на у,- и 0(&о) на 0(-k0).
Второй пример, который мы рассмотрим, это модель со спонтанно нарушенной
симметрией. Выберем в качестве калибровочной группы группу SU(2) и пусть
ср- скалярное поле в изоспинорном представлении:
Ф=(ф!)' Ф+ = (*рГ> ч$- (4Л6>
Лагранжиан модели (1.3.25) перепишем в формализме первого порядка
2 -= (-V ?") + + ('ЗД+ % - <P"X -
- А. (ф+ф - J12)2, (4.17)
где мы ввели вспомогательные векторные поля ср^, Ф+, и
VH<P = <fyP + -f- ^рТаф, (4.18)
тя - матрицы Паули.
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИИ
113
Как и в случае поля Янга - Миллса в пустоте, уравнения движения позволяют
исключить часть переменных:
- - diS4-k + g \s4-i, $Фк\\ (4.19)
Фа = Vft<p. (4.20)
После этого лагранжиан принимает вид, характерный для обобщенной
гамильтоновой системы:
9? = FokdoAk + Фо+ доф + <9оф+фо - h (Ко*, Фо> ф) "Н
+ А% (dkFaok - geabc AlFlu + Ц- (ср+Лр - <р+таФо)) , (4.21)
где h - функция Гамильтона, явный вид которой мы не выписываем.
Как видно, пары Коа, Ак и фо, Ф играют роль сопряженных канонических
переменных, Ло - множитель Лагранжа, и
Са = - dkFok + g*abcAbkFc0k + Щ- (Фо+таФ - Ф+таФо) (4.22)
- связь. Легко проверить, что выполнены условия ком-
мутации типа (2.10), так что мы можем применить для квантования данной
модели общие формулы из § 2.
Как уже обсуждалось в главе I, устойчивой вакуумной конфигурации
соответствуют поля
< = 0; Ф=(?). (4.23)
Поэтому прежде чем переходить к квантованию, удобно сделать сдвиг
Ф-*Ф~(°)- (4.24)
В результате такого сдвига связь (4.22) примет вид
Са - - dkFok g?ab°AkFok -Г гп\Во -J-
+ у g (сгВ? - Вй<то - &аЬсВьВо), (4.251
где введены обозначения
iB' + B2_, "2_" I 1 г_;d3\ _ _ V-g
114 ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
а через Во и о0 обозначены соответствующие канонические импульсы.
Мы видим, что связь содержит линейно член Во; поэтому естественно выбрать
в качестве дополнительного условия (оно же условие калибровки)
Ва = 0. (4.27)
Действительно матрица скобок Пуассона
{Са (х), Вь (у)} = (т, +1 о (*)) 6й66 (х - у) + ..., (4.28)
где ... обозначают члены, исчезающие при Ва = 0, невырождена в рамках
теории возмущений, т. е. при |gcr| < т 1.
В калибровке Ва = 0 квадратичная форма гамильтониана h и линейная форма
связи С принимают вид
h0 = у (FSO2 + -i (diА% - dkAff + (At)2 + у (Bo)2 +
1 1 trt2
+ T °o + ? + IT °2' = 2^' (4-29)
cs = - dkFaok + miB0a- (4.30)
В качестве свободного гамильтониана ho, опреде-
ляющего спектр частиц в рамках теории возмущений, мы должны взять
выражение, получающееся из h при подстановке в него решения связи Со = 0:
hi = I Оо*)2 + (дкРонУ + у (dtAi - dkAff +
2 2т\ 4
+ ^1(Л*а)г + {а2+ I(^0)2 + ^i а2. (4.31)
Выражение ^hod3x диагонализуется подстановкой
3
Abi (ж) = (2л) 2 (ft) (ft) +
i = l
+ e~ik*af (ft) (- ft)) ; (4.32)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ с полями материи
115
Fboi (ж) = (2я) 2 ? S о°ihXc,bi W ё1 W -
г=1 ___
- (ft) ё\ (- ft))l д/^L d3fe) (4 33)
где ej = ej и е^ - ё^- два произвольных ортонормиро-ванных вектора,
ортогональных вектору ft, а
