Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
переписать в виде
S = iV-1 ^ ехр |г ^ dx [J-tr^^nv] } JJ 8 X
X
X п det Мс (sfi) AL (s?) JJ 6 das ds&. (3.5)
t X
Заметим теперь, что функционал П det Л4С (5$) совпа-
t
дает с калибровочно-инвариантным функционалом
96
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
Ac {si-) на поверхности Фс = dusik - 0, где Ac{si) вводится аналогично
Al{s&)'-
Ac(sf) J б (dksif)da=\. (3.6)
Действительно, если удовлетворяет условию dkSik = = 0, то со = 1 очевидно
является корнем аргумента
6-функции (единственным в рамках теории возмущений). Поэтому в интеграле
(3.6) достаточно интегрировать лишь в окрестности единичного элемента.
Для со (я) " 1 + и(х) имеем
dksit= Аи - g[sik{x), dku{x)] - Mcu{x) (3.7)
и
П da (х) = Ц du (л:). (3.8)
X X
Таким образом, интеграл явно вычисляется, и мы получаем, что
Дс {si) \д.,я =о - П det Мс ($?). (3.9)
К К f
Вернемся к нашему интегралу (3.5), в котором, как мы только что доказали,
можно положить
П б (дм п det Мс = П 6 (дМ Ас. (3.10)
X t X
Сделаем теперь замену переменных
(3.11)
якобиан которой очевидно равен единице.
В силу инвариантности действия и множителей Al, Ас интеграл (3.5)
перепишется в виде
s==N~l 5ехр{^ dx[lTtr srnv3rixv]}n6^^)Ai-^X хФ^Г') (з.12)
Заменяя в интеграле по da, s4-a на s4-a и пользуясь
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
97
формулой (3.6), видим, что последние два сомножителя в подынтегральном
выражении (3.12) можно опустить. В результате получаем выражение для 5-
матрицы в ло-ренцевой калибровке:
5 =
= N~l ^ ехр |г ^ dx [у tr ^^nv] Д AL {s&) б (дц^) йзФ.
(3.13)
Рассуждения, полностью аналогичные тем, которые привели к формуле (3.9),
показывают, что на поверхности (Dl == д^^{х) = 0 функционал AL равен
AtW* =0 = detA4i, (3.14)
где оператор ML определяется формулой
MLa{x) = Па - gd^s#-", а]= Па-f W {s4) а. (3.15)
Заметим, что фигурирующие здесь определители det Мс и det Ml уже
встречались нам в первой главе при формулировке допустимости
калибровочного условия.
Мы пока не обсуждали влияние замены переменных на асимптотические условия
в интеграле (2.40). В связи с этим полученная формула для 5-матрицы
(3.13) носит пока несколько формальный характер. В частности, из наших
рассуждений не ясно, в каком смысле следует понимать детерминант ML. Дело
в том, что для корректного задания оператора ML во всем пространстве
переменных х нужны граничные условия при t -> ± оо. По другому тот же
вопрос можно сформулировать следующим образом. Для определения
детерминанта естественно воспользоваться формулой
det ML = exp{Tr In ML} =
= exp{Tr In ? +Trln(l + П_1Г (^))}. (3.16)
Здесь символом Tr обозначена операция взятия следа, включающая также
интегрирование по координатам.
Первый множитель представляет собой несущественную константу, которая
меняет лишь нормировочный
98 ГЛ, III, КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
множитель N. Второй же множитель порождает до-бавку к действию, которая
имеет вид
Trln(l + = =
П
= - у ^ dXl dx*tr ^ (*2)} dufi {ху - х2) X
X d^D {х2~х1)- ... + (- l)n+1 у- ^ dxi ... dxnX X tr (*,) ... s^n {xn)} X
X д"р (ху - x2) ... d^D {xn - xx) - ..., (3.17)
где ?>(*)-функция Грина оператора д'Аламбера. Эта функция Грина
определена неоднозначно, и вопрос состоит в том, какие граничные условия
надо наложить для ее однозначного определения. Практически речь идет о
способе обхода полюса в интеграле
1 f e~lkx
D=-w?\^-dk' (ЗЛ8>
определяющем функцию Грина. Аналогичная проблема возникает и при
определении функции Грина ?)?v {х - у), отвечающей квадратичной форме в
лоренцевой калибровке. Формальный ответ, полученный обращением этой
квадратичной формы, имеет вид
(X - у) = -S {х~у){g^-kj^}^rdk. (3.19)
В этой формуле также необходимо выяснить, в каком смысле обходятся полюса
подынтегрального выражения.
Для ответа на вопрос о граничных условиях нужно провести преобразование
интеграла (2.46) к интегралу
(3.13) до перехода к пределу по времени t" оо, V -> - оо. Напомним,
что в кулоновской калибровке, помимо граничных условий на трехмерно
поперечные составляющие потенциала у нас есть условие
дк^к = 0, (3.20)
§ 3. КОВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ
99
которое выполняется во всем интервале t' ^ t ^ t", в том числе и при t =
t", t = t'. Замена переменных
"5со ьЯ^цСО -)- <3^(0 (о (3.21)
не должна нарушать этого условия.
Отсюда следует ограничение на со:
со (дс, t") = 1, со (*,0 = 1, (3.22)
обеспечивающее исчезновение пространственных производных dftco. Заметим,
что производная по времени д0а> при этом не обязательно должна исчезать
при t = t' и t - t", так как в интеграле (2.46) никаких условий на S&о
при i = t' и t - t" не накладывается. Такое преобразование не меняет
также и граничных значений поперечных составляющих s^i при t'->-оо, оо,
так как
в этом пределе преобразование (3.21) линеаризуется и сводится к замене
-> - <5ца. (3.23)
где
о = ехр {а}. (3.24)
Таким образом, формальное определение оператора ML, данное формулой
(3.15), следует дополнить граничными условиями
