Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(L - п+1)- Если лагранжиан взаимодействия содержит производные, то
136 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
каждая вершина, содержащая т производных, вносит дополнительный фактор т.
Суммируя эти факторы, получаем
(r) = ? (П + 2) - 4 (га - 1) + тп. (2.5)
Индекс со определяет степень роста коэффициентной функции при однородном
растяжении всех импульсных переменных. При со ^ 0 это определение, вообще
говоря, теряет смысл, так как соответствующий интеграл расходится. В этом
случае индекс диаграммы определяет условную степень роста. Из
неотрицательности индекса диаграммы следует расходимость отвечающего ей
интеграла. Обратное, вообще говоря, не верно, так как индекс диаграммы
характеризует ее поведение лишь при одновременном растяжении всех
импульсов и ничего не говорит о поведении диаграммы при стремлении к
бесконечности части переменных интегрирования при фиксированных
остальных. Другими словами, диаграмма с отрицательным индексом может
иметь расходящиеся подграфы. Отрицательность индекса является достаточным
условием сходимости примитивно расходящихся диаграмм, т. е. диаграмм,
которые становятся сходящимися при разрыве любой внутренней линии.
Рассмотренные в первом параграфе диаграммы являются примитивно
расходящимися, в то время как диаграмма на рис. 6 имеет расходящиеся
подграфы (1, 2, 3) и (2, 3, 4). Очевидно, что однопетлевые диаграммы
могут быть лишь примитивно расходящимися.
Теперь мы можем сформулировать рецептуру устранения расходимостей из
произвольных диаграмм путем введения контрчленов. Прежде всего введем
промежуточную регуляризацию, делающую все интегралы сходящимися
(например, с помощью формулы (1.3)).
Рассмотрим сначала однопетлевые диаграммы. Как мы уже видели, для того
чтобы соответствующие коэффициентные функции стремились при снятии
регуляризации к определенному пределу, достаточно вычесть из них
несколько первых членов разложения в ряд Тейлора по внешним импульсам.
Такое вычитание в свою очередь эквивалентно введению в лагранжиан
контрчленов, т. е. замене исходного регуляризованного лагранжиана 3?л на
i?A+ AST.
§2. ^-ОПЕРАЦИЯ II КОПТРЧЛЕПЫ
137
Явное выражение для контрчленов AS\ строится следующим образом. Пусть G"
сильно связная диаграмма с п вершинами и s внешними линиями Ац, имеющая
неотрицательный индекс ю. Ей отвечает симметричная собственная вершинная
функция Г"(-^1, xs). Вычитаемый полином представляет собой первые члены
разложения фурье-образа Г? в ряд Тейлора и в координатном представлении
имеет вид
где Z - симметричный полином степени м. Для того чтобы получить
контрчлен, отвечающий данной диаграмме, нужно умножить выражение (2.6) на
произведение
просуммировать полученное выражение по pi ... ps и проинтегрировать по
всем переменным Xi, ..., х", кроме одной. (Если помимо векторных внешних
линий диаграмма содержит другие, например, спинорные и скалярные линии,
то все рассуждения остаются в силе, за исключением того, что
симметризация распространяется лишь на линии одного типа.)
Будем теперь строить двухпетлевые диаграммы, используя в качестве
лагранжиана SaA- AS\. Построенные таким образом двухпетлевые диаграммы
уже не содержат расходящихся подграфов, т. е. при снятии промежуточной
регуляризации расходимость возникает только при одновременном стремлении
всех переменных интегрирования к бесконечности. Этот факт вполне
очевиден, если расходящиеся подграфы не перекрываются, как это имеет
место, например, для диаграммы, изображенной на рис. 7.
В этом случае контрчлен ASь устраняющий расходимости из подграфа (2.3),
имеет вид
•яМ*,) ••• ^<Л)-
(2.7)
(2.8)
и лагранжиан S + AS\ наряду с диаграммой на рис. 7 порождает диаграмму,
изображенную на рис. 8, где кре-
138 ГЛ, IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
стиком обозначена вершина (2.8). Интеграл, соответствующий сумме диаграмм
на рис. 7 и 8, расходится лишь при одновременном стремлении всех
импульсов к бесконечности, и для устранения расходимости опять-таки
достаточно вычесть из него первые два члена
Рис. 7. Рис. 8
разложения в ряд Тейлора, что эквивалентно введению в лагранжиан нового
контрчлена Ai?2:
S'-^ + Ai?, + А ?2. (2.9)
Доказательство аналогичного утверждения при наличии перекрывающихся
расходящихся подграфов, как, например в диаграмме на рис. 6, более сложно
и мы не будем его здесь приводить.
Продолжая указанную процедуру, мы придем к перенормированному лагранжиану
SE% = 3? А27j -)- ... -f- Ai?", (2.10)
где Л5Т - локальные полиномы по полям и их производным, для которого все
диаграммы, содержащие не более п петель, сходятся при снятии
промежуточной регуляризации к конечному пределу. Очевидно, что, действуя
по теории возмущений, мы можем вычислить таким образом функции Грина с
точностью до любого конечного порядка п. С увеличением п полное число
контрчленов, разумеется, возрастает, однако число различных типов
контрчленов может оказаться конечным. (Типом контрчлена мы называем его
функциональную зависимость от полей.) В этом случае говорят о пере-
