Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
двухпетлевую диаграмму собственной энергии четвертого порядка. Чтобы
устранить и эту расходимость, мы введем в лагранжиан член, содержащий
ковариантные производные четвертого порядка
^ум tr + -КТ V2^vV2^v}. (4.1)
Калибровочная инвариантность регуляризованного лагранжиана очевидна.
Регуляризованный производящий функционал для функций Грина имеет вид
ZA(V = N~l J ехр {i J |>л (х) +±{f (?) дМ2 +
+ /|М?] dx j det М Д dsfi, (4.2)
*
где /(?)-произвольная функция от оператора д'Алам-бера, определяющая
конкретный вид обобщенной а-ка-либровки. Регуляризованный свободный
пропагатор поля Янга - Миллса строится обычным образом
паЬ "аЬ Г ( \ 1 "j
Mw-0 |_ (_ A*) J -
(4.3)
148 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
В лоренцевой калибровке (а = 0) пропагатор ведет себя при больших k как
k~6. Если а Ф 0, то мы будем выбирать функцию /(-k2) таким образом, чтобы
она не ухудшала асимптотического поведения пропагатора при &->оо и /г-vO,
например,
f(-k*) = k2-K2, (4.4)
где и2 - произвольный параметр.
Расписывая явно член ~ А-4 в лагранжиане (4.1)
g|r {[? (dv"5$n - d^v)f -
- 2 [? (д^ - д^)\ да [s?a, + . ..
... +[^з[^а[^, .5#v]]]}2, (4.5)
видим, что он порождает вершины с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью и
восемью выходящими линиями. Максимальное число производных в каждой из
этих вершин равно 5, 4, 3, 2, 1, 0 соответственно. Вычислим теперь индекс
произвольной диаграммы. Принимая во внимание, что в нашем случае ri - -4,
получаем, что индекс диаграммы, содержащей Пк вершин с k выходящими
линиями, Lin внутренних и Lex внешних линий, определяется формулой
ю ^ 4 + пг - п5 - 2л6 - 3п7 - 4п8 - 2Lin =
= 6 - 2П - п3 - 2п4 - 3"5 - 4п6 - 5 щ - 6/г8, (4.6)
где П - число замкнутых петель.
Нетрудно видеть, что расходиться могут только интегралы, соответствующие
однопетлевым диаграммам второго порядка с двумя внешними линиями,
третьего порядка с тремя внешними линиями и четвертого порядка с четырьмя
внешними линиями. Аналогичные расходящиеся диаграммы порождаются также
определителем detAL Всем прочим диаграммам, включая однопетлевые
диаграммы с внешними линиями, отвечающими фиктивным с-частицам,
соответствуют сходящиеся интегралы.
Для регуляризации однопетлевых диаграмм естественно попытаться
использовать процедуру Паули - Вилларса. Очевидно, достаточно
регуляризовать сильно связанные однопетлевые диаграммы.
$ 4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 149
Суммарный вклад замкнутых циклов с внешними линиями Ац можно представить
в виде
- JV" $ ехр { ( $ [I < М (">] dx dy +
+ i \ {f ^дЛ W}2 dx}det M И) П Ч- (4-7)
x
Помимо сильно связных диаграмм разложение функционала (4.7) содержит
также их произведения, т. е. несвязные диаграммы. Последние, очевидно,
автоматически будут конечны, если мы регуляризуем их связные компоненты.
Мы использовали здесь в качестве аргумента поля Лр,, а не источники J^,
имея в виду, что порождаемые функционалом Z0 однопетлевые диаграммы могут
входить в качестве подграфов в более сложные диаграммы, т. е. будут
интегрироваться по Лц с некоторым весом.
Разложение Z0(A) в ряд теории возмущений, очевидно, порождает замкнутые
циклы, по которым распространяются векторные (^11) и скалярные (с)
частицы нулевой массы. По аналогии с тем, как это было сделано для циклов
полей материи, можно было бы ре-гуляризовать Z0(A) вычитанием аналогичных
циклов, по которым распространяются векторные и скалярные частицы с
массами цу-. Однако такое вычитание нарушило бы калибровочную
инвариантность. В отличие от производящего функционала для однопетлевых
диаграмм полей материи, который инвариантен относительно калибровочных
преобразований своих аргументов, функционал Z0(AU) не обладает этим
свойством. Это обусловлено присутствием в нем фиксирующего калибровку
члена и циклов фиктивных частиц, нарушающих явную калибровочную
инвариантность. Тем не менее, как мы сейчас покажем, расходящаяся часть
функционала Z0(A) инвариантна относительно калибровочных преобразований
полей Ау.. С точностью до конечных, не нуждающихся в регуляризации
членов, функционал (4.7) может быть преобразован к явно инвариантному
150 1'Л. 1V- ПЕРIIНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
виду
2, = ЛГ1 5 ехр { i 5 [i € W ч\ to)] tody}*
XdelV>Ij5(VA),i,"+ .... (4.8)
где
^iWn = ? [^n> (4-9)
a ... обозначает конечные члены, не нуждающиеся в регуляризации
Чтобы продемонстрировать это, воспользуемся уже известным нам приемом.
Введем функционалы Дг("5$ц, <7в) и Aw(^\i, qц.), определенные условиями
A.K'OlII6W)dffl=1' (4Л0)
к
д V (S П 6 (ав< - W W) = 1 - (4. ¦11)
X
где калибровочное преобразование q^->q(r) представляет собой сдвиг на
функцию, зависящую от со
" % + 7 К" - 8 Г-Д <*] + О ("")}. (4.12)
где е - малый параметр.
Интегрирование в формулах (4.10), (4.11) ведется по инвариантной мере на
группе Q. Функционалы Av, Aw, очевидно, инвариантны относительно
преобразований (4.12).
Используя те же аргументы, что и в главе III, видим, что на поверхности
V^q^ - 0 функционал Av равен
