Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
производящего функционала для функций Грина. Он имеет вид
Za(7") = ЛГ1 $ ехр { г $ tr [\ V2?-ttVvVuv -
dx}X
ci
XdetAlJJdetQ, * det Bj/Д^. (4.34)
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
155
С помощью интегральных представлений (4.30), (4.31), (3.3.51), это
выражение можно представить в виде континуального интеграла от ехр {/X
локальное действие} по Янг - Миллсовским полям и вспомогательным полям с,
с, <7щ, Ь, Ь.
Можно было бы также перейти в формуле (4.34) и обобщенной ковариантной
калибровке, например, вводя фиксирующий калибровку член
iW' <4-35)
При этом нужно соответственно модифицировать определители det В о и det
Bj. Мы не будем здесь этим заниматься.
При конечных Л, щ все диаграммы, порождаемые Za сходятся. В то же время
Zл имеет те же трансформационные свойства, которыми формально обладает
не-регуляризованный функционал. В частности, для него справедливы, как мы
увидим, обобщенные тождества Уорда.
§ 5. Размерная регуляризация
Индекс расходимости со существенно зависит от размерности пространства-
времени. Для пространства размерности п произведение независимых
дифференциалов вносит в индекс диаграммы вклад, равный
n{L-m+ 1), (5.1)
где L - число внутренних линий, am - число вершин. Поэтому диаграммы,
которым в четырехмерном пространстве соответствовали расходящиеся
интегралы, в пространстве меньшей размерности могут оказаться
сходящимися. С другой стороны, переход от четырехмерного пространства к
пространству размерности п никак не отражается на свойствах симметрии.
Калибровочные преобразования естественным образом обобщаются на
пространство любой целой положительной размерности. Можно пойти дальше и
определить фейнмановские диаграммы для пространства нецелой и даже
комплексной размерности. В этом случае, разумеется, уже нельзя говорить о
какой-либо симметрии лагранжиана, поскольку само это понятие при нецелом
п теряет смысл. Тем не
156 ГЛ IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
менее, мы можем исследовать функции Грина в пространстве произвольной
размерности. Как мы покажем в дальнейшем, калибровочная инвариантность
теории на языке функций Грина эквивалентна существованию соотношений
между этими функциями, называемых обобщенными тождествами Уорда. Эти
соотношения имеют смысл в пространстве любой размерности и в той области
п, где все интегралы сходятся, могут быть строго доказаны. Функции Грина,
рассматриваемые как функции размерности пространства п, имеют полюсные
особенности при п - 4. Вычитая эти особенности, мы можем аналитически
продолжить функции Грина в точку л = 4. Полученные таким образом функции
будут удовлетворять обобщенным тождествам Уорда.
В качестве простейшего примера рассмотрим интеграл
I==\d k (к2-т2 + Ю) \(р - kУ - m2 + Ю] - (5-2)
При целом л < 4 этот интеграл сходится. Воспользовавшись формулой
I
S [ax + b{ 1 -*)]2 ' (5'3)
О
его можно переписать в виде 1
I==\dX\d>lk [k2 + р2х (] _ х) _ т2 + Ю]2 • (5-4)
О
Поворачивая контур интегрирования на 90° и переходя к переменным ko->ik0,
приходим к интегралу по евклидову пространству размерности л:
1
/ = I ^ dx ^ dnk _ Р2Х (1 _ х)]2 • (5-5)
о
Интеграл по к легко вычисляется с помощью известной формулы
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
157
где Г(а) -гамма-функция Эйлера. Правая часть равенства (5.6) может быть
аналитически продолжена на комплексные значения я. Мы примем формулу
(5.6) в качестве определения интеграла, стоящего в левой части при
произвольной размерности пространства. Таким образом, интеграл (5.2)
равен
1
П С П
I = /л"г (2 - у) J dx [т2 - р2х (1 - х)]Т~ . (5.7)
о
При я = 4 Г-функция имеет полюс и / обращается в бесконечность. Это
соответствует расходимости исходного интеграла по четырехмерному
пространству. Как обычно, расходимость устраняется с помощью вычита-
телыгой процедуры. Разлагая I в ряд Лорана вблизи точки я/2 = 2, имеем
1
I - Y + *'л2 ^ dx In [т2 - р2(1 - х)х] + О (у - 2) .
где у - конечная постоянная. Делая вычитание в точке %? = р2, получаем
окончательный ответ в виде
7 (Р2, X2) = in2 5 dx In (5-9)
о
Для вычисления фейнмановских диаграмм общего вида необходимо
сформулировать также правила обращения с тензорными величинами в
пространстве размерности я. По определению,
§\ivPv = Рц> Р\iPII == Р2> §uv§va == ^ца! §ц\§цч==^- (5.10)
Аналогичным образом для теорий с участием фермионов вводятся объекты,
обладающие алгебраическими свойствами у-матриц
YnYv + YvYh = 2s|1V/, (5.11)
158 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
где / - единичная матрица,
П
tr {Y^Yv} = 2 2 gnv,
(5.12)
YllPYtl = 2(l - \ilpq\Vi = 4pq + (n - 4)pq. (5.13)
Заметим, однако, что обычное определение матрицы 75
не переносится на пространство произвольной размерности, поскольку
абсолютно антисимметричный тензор eapnv определен только в четырехмерном
пространстве. Вследствие этого теории, в которых участвует матрица 75,
нуждаются в специальном рассмотрении и, вообще говоря, размерная
регуляризация к ним неприменима.
Рецептура размерной регуляризации произвольной диаграммы Фейнмана состоит
