Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
обобщения градиентно инвариантной процедуры Паули - Вилларса.
Покажем это на примере взаимодействия поля Янга - Миллса со спинорным
полем ф, описываемого лагранжианом (1.3.1). Производящий функционал для
функций Грина имеет вид
2 (V rj, ц) = АП1 ^ ехр | i [S'ym + (ДИв)2 +
-f /ф (д - §\ГаЛ й) ф - р0ФФ + +
+ 'П'Ф + Фл] dx | det М JJ dA^ Дф Л|з. (3.1)
*
Расходящиеся диаграммы, не содержащие внутренних векторных линий -
спинорные циклы, регуляризуются так же, как в электродинамике, т. е.
вычитанием аналогичных циклов, по которым распространяются спинорные поля
с массами р,-. Действительно, если мы интересуемся только спинорными
циклами, то источники rj, г] можно положить равными нулю. Остающийся
гауссов интеграл по ф и ф явно вычисляется. Он равен det Х0, где
*о = fyA - Ро - гДГауцЛ^. (3.2)
Регуляризация состоит в замене det^o произведением
П
det Xq-> det Х0 П (det X,)ct =
/=i
= ехр{тг1п*0+ Ес/Тг1пхД (3.3)
142 ГЛ. IV, ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
где операторы Xj конструируются аналогично оператору Х0
Х,= id-p,-igTaAa, (3.4)
а коэффициенты Cj удовлетворяют условиям
2>/ + 1=0, 1^ = 0. (3.5)
Чтобы убедиться в том, что замена (3.3) действительно регуляризует
спинорные циклы, представим det Xj в виде
det Xj = det (id - p/) det {l - g (id - P/)~l iPaAa}. (3.6)
Первый множитель не зависит от полей Лц и поэтому может быть включен в
нормировочную константу N. Второй сомножитель можно преобразовать к виду
ехр{Тг ln{l - g (id - р;)-1 г'ГаЛа}} =
= ехр | - [-Иу- tr ^ [га Ла (xi) S1 (xi - х2) X X Г°2Л (х2) S' (х2 - ж,)]
dx, dx2 + ...
... +-^t r\ra'Aa'(xx)Si(xl-x2)... ...TanAan(xn)S!(xn-Xx)dxx ... dxn]},
(3.7) где S1 (x) - спинорная функция Грина S! (x) ^ (id - и.,)-' = \
^^P_iQ e~ipx dp. (3.8)
Переходя к фурье-образам, n-e слагаемое в экспоненте можно записать в
виде
Ип 1Г К ("*/ + Р) ' ' ' п + ^ + kn-1)1 v
(|"J - Р2) (й; - (Р + k,f) . . . (|iy - (р + kn_xf)
Xtr(*0 ... гвм""(*")]х
Xf)(kn - kx- ... - ... dkn. (3.9)
Здесь первый след относится к спинорным индексам, а второй - к внутренним
степеням свободы. При п ^ 4 интеграл по р расходится. При больших р
подынте-
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
143
тральное выражение в этом интеграле можно представить в виде ряда по р./
Рп (р) + V2jPn-2 (р) + ¦ • ¦ + Рп(р) , рп(Р)
_1_ \/
Р2П (Р) + Р/Р2п-2 (Р)+ ¦¦¦ + Ц?" Р2п (Р) Р2п (Р)
f Рп-2^Р} Р2п-2^
Рп(Р) ^2"
]р/2+..., (3.10)
где Р/(р) - полином по р степени /. Коэффициент при p2k при больших р
ведет себя как р~п~2к. Если коэффициенты с/ удовлетворяют условиям (3.5),
то два старших члена в асимптотическом разложении по р подынтегрального
выражения в сумме (3.3) выпадают, и асимптотика регуляризованного
выражения есть р~п~4. Таким образом, все интегралы по р сходятся.
Регуляризованный производящий функционал можно представить в виде
континуального интеграла, в котором в показателе экспоненты стоит
локальное действие, если воспользоваться представлением det Xj в виде
[det Ху]*1 =
= §ехр {1S ^ ^-?г°^а) ~ p/'M'j ^}П d^i d^p
X
(3.11)
где %, ф/ - вспомогательные спинорные переменные. Показатель степени в
левой части этого равенства определяется коммутационными свойствами полей
фу. Антикоммутирующим переменным соответствует показатель + 1,
коммутирующим -1. Выбирая в качестве коэффициентов С/, фигурирующих в
формуле (3.3) целые числа,
П
регуляризующий множитель XI (det Xj)cl можно предста-
/=1
вить в виде
п Г п Г I °! I
Д (det Xjfl = 5 ехр ] i 5 Z Z M'/* - ?Га^а) фу* -
;=1 v 1L k=\
- Н'/Ф/йФ/аЛ dx Д dty/k dty,k |. (3.12)
J x.i.k )
144 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Здесь коэффициенты С/ и массы р/ считаются удовлетворяющими условиям
(3.5). При этом отрицательным коэффициентам с/ соответствуют
коммутирующие вспомогательные поля ф,-*, ф/й, а положительным
коэффициентам С/ - антикоммутирующие вспомогательные поля.
Добавляя к действию, стоящему в показателе экспоненты (3.1), действие,
фигурирующее в правой части равенства (3.12), мы получим регуляризованный
производящий функционал в виде континуального интеграла от ехр {i X
локальное действие}. Действие (3.12) явно инвариантно относительно
одновременных калибровочных преобразований полей ф/й, ф/*, и
следовательно, регуляризация (3.3) не меняет свойства симметрии
производящего функционала.
Обобщение этой процедуры на случай, когда поле Янга - Миллса
взаимодействует еще со скалярными полями, очевидно. Единственное отличие
состоит в том, что поскольку скалярные поля являются коммутирующими
переменными, сумма замкнутых циклов равна (dety0)_I и регуляризация
состоит в замене
(det Го)-1 - (det Г0Г' П (det Yj)~cL (3.13)
i
Регуляризация Паули - Вилларса применима в тех случаях, когда лагранжиан
взаимодействия квадратичен по полям, образующим расходящиеся циклы.
Поэтому она не обобщается на само поле Янга - Миллса. Здесь приходится
прибегать к более изощренным приемам. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением поля Янга - Миллса в пустоте.
В настоящее время существуют два метода инвариантной регуляризации
