Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 43

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 67 >> Следующая

в следующем. В интеграле, соответствующем этой диаграмме,
I L
где L - число внутренних линий диаграммы, / - число независимых циклов, а
импульсы qt представляют собой алгебраические суммы переменных
интегрирования к, и внешних импульсов pi, нужно воспользоваться какой-
либо параметризацией функций Грина, позволяющей явно выполнить
интегрирование по ki. Для этого можно использовать либо фейнмановскую
параметризацию
(5.3), либо так называемое а-представление
(р2 - т2 + Ю) 1 = (г) 1 ^ da ехр (га (р2 - т2 + Ю)}. (5.16)
Ys ^ap^vYoYfjYixYv
(5.14)
о
После перехода к a-представлеиию интегралы по k становятся гауссовыми и
вычисляются с помощью формул
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
159
типа
г п
J ДЙ7гехР(~~'v/;2 + 2М = (-7) * (2^)"" ехр { } ; (5.17)
при нецелом п формула (5.17) принимается за определение интеграла по "-
мерному пространству.
Интеграл, определяющий функцию F, сходится в конечной области комплексной
переменной п. При п = 4 эта функция имеет полюсы. (Практически эти полюсы
появляются, например, как особенности Г-функций Эйлера, возникающих в
результате интегрирования по параметрам а.)
Выделяя с помощью комбинаторных формул (5.10) тензорные структуры,
функции F можно представить в виде суммы скалярных функций /ц. Если
соответствующая диаграмма не имеет расходящихся подграфов, то разложение
функций /ц в ряд Лорана вблизи точки п = 4 имеет вид
Ft (Р) + В(РЬ PtP,) + 0(п- 4), (5.18)
где А (р?, ptPj) - полином, степень которого равна индексу диаграммы.
Вычитая из функции Ft(p) несколько первых членов разложения в ряд Тейлора
по импульсам р;-, мы получаем функцию, допускающую аналитическое
продолжение в точку п = 4.
Для диаграмм, содержащих расходящиеся подграфы, вычитания делаются
рекуррентно. Вводятся контрчлены, устраняющие расходимость из подграфов,
а затем делается вычитание для диаграммы в целом. Важным свойством
размерной регуляризации является возможность сдвига переменных
интегрирования в регуляризо-ванных интегралах. Именно это свойство в
сочетании с тензорной алгеброй (5.10) позволяет доказать в рамках
размерной регуляризации обобщенные тождества Уорда.
В заключение мы проиллюстрируем метод размерной регуляризации простым
примером - вычислением поправки второго порядка к функции Грина поля Янга
- Миллса. Эта поправка описывается диаграммами, изображенными на рис. 4.
160 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Диаграмме (а) в диагональной а-калибровке соответствует регуляризованный
интеграл
2 р ИпЬ
П "(P)a==-Y)w?",Vi,>,X
х [(р + ёт, + (р- + (k- 2p)Ui j X
X [(k + p)V2 gVVi + (fc - 2p)Vi + (p - 2/e)v gViVt] x
(~i&a'b') (- (6°^) _
X k2 + iO (p - k)2 + /0 ^V2
- g2fiab ^ ^2n)h l(^ + PY + (^ - 2p)2] -f (n - 6) p^pv -f
+ (4" - 6) + (3 - 2n) {pyk^ + Pnfev)} X
Х{(Л2 + Ю)[(р-А)2 + Ю]}-', (5.19)
где для того, чтобы сохранить правильную размерность И,*,, введена
размерная константа связи g\ = gV-". Пользуясь формулой
1
k2(p - к)2 = S dz [?2(1 - г) + (р - k)2 z]2 (5,2°)
о
и переходя к новым переменным
k->k + pz, (5.21)
запишем этот интеграл в виде
I
п"? (р)а = ^1б"' $ dz (5 - 2Z + 2z2) р2 + 2g^k2 +
U
+ (4га - 6) - (4n - 6)z(l - 2)PnPv +
+ (rt - 6) p^pj [P2 + p2z (1 - z) + Ю]-1. (5.22)
В этой формуле опущены нечетные по k члены, вклад которых по соображениям
симметрии обращается в нуль.
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
161
Переходя к евклидовой метрике, можно выполнить инте-. грирование по k с
помощью формулы
Г (k2)m dnk in'1'2 Г
J W + p*z(\-z)}1 )
dk2 -
(-kT(k2)2
[- k2 + p2z( 1 -z)]1
(_!)-" + ' [_p2z(i_2)]
m+~- I
X
X----------------2-\ik-------------------- (5.23)
Г (0
При нецелом или комплексном п эта формула является определением
интеграла, стоящего в левой части (5.23). Выполняя интегрирование,
получаем
Ьа^ С
п$ (р)а = \ dz { [gilv (5-2z + 2z2) Р2 -
(An)'2 °
- {An - 6) p^pvz (1 - z) + {n - 6) prfv] X X [- fz (1 - z)fi~2 Г (2 - ?)
-
- 3 (n - 1) I- P2z (1 - r(l - у). (5.24)
Интегралы no z берутся с помощью формулы
162 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
В результате получаем
nS [в Т4~ -
г(т)г(т-') , " г(т+|)г(т-')
-2- -+ 2
6(rt- 1)
Г ("- 1) ~ г (л)
г2 Г4Р
+ ¦
Ш] Г... пг'Ш
2 - я Г (я) J pvPv L(4n ^ Г (я)
- (и - 6) rr(,f_ 2)^ ] } Г (2 - -jr) (-Ра) " ~2. (5.26)
При получении этой формулы использовано соотношение
г (1 - о") = -тг=г^Г Г (2 - (r))- (6-27)
Как видно, в пределе при я-> 4,
(Р)а~+00 >
так как функция Г ^2 - у) имеет в этой точке полюс.
Разлагая Пй" [р)а в окрестности я = 4 в ряд Лорана и
пользуясь тем, что
(тг^г)8 = 1 + в 1п (^-) + о (е2), (6.28)
получаем окончательное выражение для (р)а:
К {Р)а-ig26ab
16 л2
{(g"vP2 - PuPv) е 1 + Со) - у Pv-Pv (d + R~') + + (gyivp2 ~ PvPv) -у- ln-
=7? - T PpPv In - }; (6.29)
c 4 -я
где ca и d - конечные постоянные.
§ 5. РАЗМЕРНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
163
Диаграмме (b) соответствует интеграл
(?). (5.30)
Вычисления, полностью аналогичные предыдущим, дают
Ку (р)ь = ЬаЬ { (guvP2 - PuPv) (у е-1 + с6) +
+ У PvPy (е~' + d) + (g"yp2 - P"Pv) у In +
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed