Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
+ -jP"Pv In irjr}- (5-31)
Наконец, диаграмма (с) дает нулевой вклад. Вклад этой диаграммы
пропорционален интегралу
(6.32)
В методе размерной регуляризации имеет место формула
/=S ,nS~'=0; (5'зз)
а = 0, 1, ..., т.
Таким образом, суммарная поправка второго порядка к функции Грина поля
Янга - Миллса имеет вид
П$ (р) = П$ (р)а + П$ (р)ь =
= (guvP2 - P"Pv){ у-6-1 + с +-у-In-^5- }. (5.34)
Расходимость при е->-0 устраняется, как обычно, вычи-тательной
процедурой. Соответствующий контрчлен равен
(г2-1)=-^в~1 + с, (5.35)
что согласуется с формулой (1.33) из § 1. Как видно, выражение
(5.34) автоматически поперечно и для устране-
ния расходимостей не требуются калибровочно неинвариантные контрчлены
типа контрчлена перенормировки массы поля Янга - Миллса,
1 64 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
§ 6. Обобщенные тождества Уорда
Процедура перенормировки формулируется обычно в терминах функций Грина. В
отличие от 5-матрицы, функции Грина не являются калибровочно-инвариантным
объектом и их значения зависят от конкретного выбора калибровочного
условия. Принцип относительности эквивалентен существованию соотношений
между функциями Грина, которые мы, по аналогии с электродинамикой, будем
называть обобщенными тождествами Уорда. Эти соотношения обеспечивают
физическую эквивалентность различных калибровок и играют ключевую роль в
доказательстве калибровочной инвариантности и унитарности
перенормированной S-матрицы. Из них следует, в частности, что контрчлены,
которые необходимо ввести для того, чтобы снять промежуточную
регуляризацию, образуют калибровочно-инвариантную струк-
Начнем с вывода обобщенных тождеств Уорда для регуляризованных
неперенормированных функций Грина. Во всех дальнейших рассуждениях будет
использоваться лишь калибровочная инвариантность регуляризованного
действия. Поэтому мы не будем выписывать для него явное выражение, имея в
виду, что в качестве такового можно воспользоваться, например, формулой
(4.37).
В качестве исходного выберем представление производящего функционала для
функций Грина в виде
Здесь Sa - калибровочно-инвариантный функционал действия, в который
включены все регуляризующие факторы. Для получения обобщенных тождеств
Уорда воспользуемся тем же приемом, что и при доказательстве
калибровочной инвариантности S-матрицы.
туру.
- тtr S [i r W)2 + f^]dx]} x
ХД(4*)П b(d^-W)dstdW. (6.1)
X
§ 6 ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
165
Введем калибровочно-инвариантный функционал A(j^), определенный условием
А (Ж) ^ б |>й.< -W(x)-% (jt)] da = 1, (6.2)
где %{х) -произвольная матричная функция. С учетом (6.2) перепишем Z(J) в
виде
Z(J) = ЛГ1 Jexp {i[sA - ytr J \f^ + ^ (/(?)ш)2]dx\}X
ХДМА"[]б(ал-^)Х
*
Xb(d^-W-xjdstdW da>. (6.3) Перейдем к новым переменным
Mi -> М?>
CD -> CO 1
(I)
(6.4)
Интегралы по со и W снимаются б-функциями, причем возникающий якобиан
сокращается с А (.5$).
Принимая во внимание, что значение функционала А ("90) на поверхности
= ^ + Х (6-5)
равно значению функционала A(j$) на поверхности
дцМ* = W, (6.6)
получаем
Z(J) = ЛП1 J ехр {i [sA - у tr J +
+ ^r(f(n)(d!X^-y,)r\dx}detMlld^. (6.7)
X
Здесь
Mi = Mi - g [Mi, u\-\- О (u% (6.8)
a u(x) удовлетворяет уравнению
? и - gd* [Мц, "] + 0 ("2) - W - - - х. (6.9)
166 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Представляя решение и в виде ряда по %, имеем
и = -М~[х + 0(%2), (6.10)
где М~х - оператор, обратный к М. Ядро этого оператора Маь (х, у)
удовлетворяет уравнению
ПМаь (х, у) - gtadcdvl (Ai (х) М~ъ (х, у)) =
= 6 аЬЬ(х-у) (6.11)
и, очевидно, совпадает со связной частью функции Грина фиктивных частиц
во внешнем классическом поле &и(х):
Mab{x, y) = babD°(x-y) +
+ gtadb\D"(x-z)dM(z)D\z-y)\dz+ ... (6.12)
Поскольку исходный функционал (6.1) не зависит от %, его производная по %
равна нулю dZ
d%
= 0. (6.13)
х-0 v
Подставляя в эту формулу выражение (6.1), полученное тождественным
преобразованием функционала (6.1) и выполняя явно дифференцирование,
получаем
J ехр {i [sA + J [да + -2~(f (О) <W2] dx} det М X
х{-^/2(п)даы +
+ \ /ь (z) (%М~х)Ьа (z, у, Ж) dz) Д da = 0. (6.14)
X
Это равенство есть не что иное, как система обобщенных тождеств Уорда для
теории Янга - Миллса. Его можно записать также в терминах вариационных
производных
{^<а)Ч-г^г} +
+ [t № № (4 67ДЛ-) (ТЙ TdAZ- °- (6Л5>
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА УОРДА
167
где операторы (M~l)ba (--37-) и Г-) получаются из УДЛ), (М~')Ьа(х, у, а)
очевидной заменой
А^1~- (6.16) * к
Действуя оператором М-1 на Z(J), получаем полную функцию Грина фиктивных
частиц в присутствии классического источника J
^м~%[тМ2{!) = °аЬ{х'у' /)==
¦ЛГ
Ьца (х) Ьць (У) " S6Xp{ 1 2 ГС(?ЛС + &YM +
+ сц + цс + fu^ul dx\ ТТ dc, dc й^Ф _ . (6.17)
> n-ri-Q
Эта функция удовлетворяет уравнению
д№Ь (т w) °ЬС {х' у' }) = (* ~ ^ z (6-18>
Из обобщенных тождеств Уорда (6.15) легко получить соотношения между
отдельными функциями Грина. Например, беря от (6.15) вариационную
производную по 7v (у) при / = 0 и дифференцируя полученное равенство по
