Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
АгК, Olwo = dete'IVB =
= det[{D - gd^st^, ] - ]]}]*e~\
(4.13)
а функционал Aw на поверхности dv,qlx = W равен Air qj \d q ~w = det e~J
{? - [a^, ]} = det e~lM.
И"
(4.14)
§4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРИЛИТПЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 151
Постоянные множители det е-1 приводят лишь к переопределению
нормировочной постоянной N, и поэтому в дальнейшем мы будем их опускать.
Имея в виду (4.10) и (4.14), перепишем функционал Z0 в виде
Z0 (Д, = дг' J ехр ( ,¦ J [I < W Л Ы +
+ -^{f(D)W (х)У 6 (х - г/)] dx dy j X
X П6 (дЛ ~ Ю Лг Кп %) 6 (V А") х
X Ак ^ц) da dW dq(4.15) Переходя к новым переменным
(4.16)
имеем
г, (А) - w- J ер {/ J [ i К М]" К <*>Г +
+ ± {/ (?) И? М}26(* - у)] dx dy } ПбК< -W)X
XA"6(VA)detV^o)drdV (4.17)
Интегрирование по ю снимается б-функцией - Wy
Возникающий при этом якобиан сокращается с Дw, и со выражается через qщ,
W уравнением
д* ("V - В и) + 0 {и2)) = е (W - д^). (4.18) Решение этого уравнения
имеет вид
и = гМ~1(Ш -д^) + 0(е2). (4.19)
Подставляя это решение в формулу (4.17), получаем
Z0(^) = IV"1 \ ехр ( Л Г- - &tSxb- X
J 1 J L2 бл"(х)бл*ы ^
X [<7р + V^M"1 (W - дpqp)f [qv + VvM"' (W - dfajf + + ^ {f (?) W (x)}2 6
(x - y)] dx dy } X
X det V2 Д 6 (VJ dW dq^ + О (e). (4.20)
152 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Поскольку функционал Z0{s&) в действительности не зависит от е можно
положить в формуле (4.20) е == 0, в результате чего последний член
исчезнет.
Выражение (4.20) отличается от (4.8) лишь заменой в показателе экспоненты
на
Покажем, что возникающие в результате этого дополнительные диаграммы
отвечают сходящимся интегралам. Для этого воспользуемся соотношением
следующим из калибровочной инвариантности действия
S.y. Это соотношение позволяет переписать показатель экспоненты в формуле
(4.20) в виде
X [<7v + у VvAT' (W - ар(7р)]6 [М~' (W - <Зр<7р)]С dx. (4.23)
Легко видеть, что второй член в (4.23) порождает лишь сходящиеся
диаграммы. Действительно, пропагатор qц при больших q ведет себя как q~6,
пропагатор W убывает не медленнее. Поэтому вставка вершин, порождаемых
вторым членом в (4.23), в любую диаграмму делает ее конечной. В
частности, на массовой поверхности вклад этого члена вообще равен нулю.
Итак, мы показали, что расходящаяся часть функционала (4.7), которую мы
будем обозначать через Z0(s?), может быть преобразована к виду (4.8).
Убедимся в калибровочной инвариантности этого выражения.
Для этого заметим, что, выполняя интегрирование по qa, Z'(A) можно
записать в виде
+ -dpqp).
(4.21)
йА?(х)6А5(у)
[Уйф (*)]" dx = gtabc фс (у), (4.22)
qb (у) dx dy + gtab0 I - X
4V w J 64" {x)
Z'0 (i4) = detQ-,/'detV(r)>
(4. 24
§4. МЕТОД ВЫСШИХ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 153
где
6 2S
detQg - $ "Ф {' 5 <">] л *"} X
ХПб(УЛ)<%- (4-25)
X
Функционал detVji явным образом калибровочно-инвариантен. При
калибровочных преобразованиях полей
62S,V
производные - --------- преооразуются контра-
6.4р (х) 64v (у)
градиентно. Из инвариантности Sa следует 6*SA 62SA
6Л" (л:) 64hv (у) 64'С (х) 6A/d {у)
X (bacbbd - gicafuf (х) 6м - gtb dfuf (у) Ьас + ...). (4.26)
Поэтому если одновременно с калибровочным преобразованием si и-сделать
замену переменных интегрирования
(4.27)
то интеграл (4.25) не изменится. Таким образом, окончательно
z'0(s4:a) = z'Q(si). (4.28)
Регуляризация состоит в замене
__Д
z'0 (Л) -> det Q~'/2 Г| det Q;. 2 det BQ det B^l, (4.29)
где
det Bj = det {V2 - p2} =
= ^ exp { - у tr ^ [bV2b - p2bb] dx j Д db dh, (4.30)
detQ7V2 = \ exp ( / t Г- ^ -b--------qa (x) qb (y) -
1 J F ( J [ 2 J 64" {x) 6Abv (у) ^ V '
r <72 {x) 6 (x - y) J dx dy }lls(V,)'iv ("и
A
154 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Переменные b и b считаются антикоммутирующими, коэффициенты су-
удовлетворяют условиям Паули - Вилларса:
?с,+ 1=0; ? с-1^ = 0,
' ' ' (4.32)
Во = Bj При Р/ =0. Qo = Qi При Р; = 0-
Формула (4.29) описывает обычную регуляризацию Паули - Вилларса, которую
мы подробно обсуждали выше на примере спинорных полей. Из каждого замкну
того цикла, по которому распространяется векторная (7л) или скалярная (Ь)
частица, вычитаются аналогичные циклы, в которых внутренние линии имеют
массы р/. Благодаря условиям (4.32) ведущие члены в асимптотике
подынтегральных выражений сокращаются, и интегралы становятся
сходящимися. Поскольку Z0(^) отличается от Zq{s?) лишь конечными членами,
подобная процедура очевидно регуляризует и Z0(s&).
Множители det Q,- и det В/ калибровочно-инвариантны. Инвариантность det
В/ непосредственно следует из интегрального представления (4.30).
Эффективное действие, стоящее в показателе экспоненты, описывает
калибровочно-инвариантное взаимодействие скалярных полей b, b с полем
Янга - Миллса. Поэтому
det В, Ою) = det Bj (si). (4.33)
Инвариантность функционала det Q; доказывается
точно так же, как инвариантность функционала det Q0.
Таким образом, регуляризация (4.29) действительно является калибровочно-
инвариантной.
Теперь мы можем записать явное выражение для полностью регуляризованного
