Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
нормируемости теории. Перенормируемая теория фиксируется заданием
конечного числа параметров, имеющих смысл физических зарядов и масс. Если
же число типов контрчленов неограниченно возрастает, т. е. в старших
порядках теории возмущений появляются структуры, содержащие все большее
число полей и их произ-
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
139
водных, то теория называется неперенормируемой. Поскольку введение нового
контрчлена означает появление новой произвольной константы (положения
точки вычитания), неперенормируемые теории не фиксируются конечным числом
параметров. Для неперенормируемых лагранжианов метод теории возмущений,
по-видимому, непригоден, и мы не будем их здесь рассматривать.
Явный вид контрчленов зависит от конкретной промежуточной регуляризации и
от выбора точки вычитания, т. е. центра разложения в ряд Тейлора.
Неудачный выбор регуляризации может сильно затруднить анализ
перенормированной теории. Для калибровочных теорий особенно удобны так
называемые инвариантные регуляризации, сохраняющие формальные свойства
симметрии неперенормированной теории.
§ 3. Инвариантные регуляризации.
Метод Паули-Вилларса
Контрчленная форма Д-операции удобна для исследования полей Янга -
Миллса, так как она позволяет наиболее просто и явно учесть свойства
симметрии. Как мы уже видели в предыдущей главе, принцип относительности
позволяет строить теорию возмущений для полей Янга - Миллса, отправляясь
от различных калибровок. При этом калибровки, в которых 5-матрица
формально унитарна (кулоновская или гамильтонова калибровки для
безмассового поля Янга - Миллса, унитарная калибровка для теории со
спонтанно нарушенной симметрией) не удобны с точки зрения процедуры
перенормировки. В первых двух случаях отсутствует явная релятивистская
инвариантность, а в последнем явная перенормируемость. Гораздо удобнее в
этом смысле яено ковариантные калибровки типа лоренцевой, для которых как
мы вскоре увидим, перенормируемость очевидна. Однако в лоренцевой
калибровке мы не можем построить гамильтонову формулировку теории, и
потому унитарность S-матрицы не очевидна. С точки зрения операторного
формализма S-матрица в лоренцевой калибровке действует в "большом"
пространстве, содержащем как физические, так и нефизические состояния
(продольные и временные "фотоны",
140 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
скалярные фермионы, голдстоуновские бозоны) и, вообще говоря, унитарна
лишь в этом пространстве, в котором метрика индефинитна. Унитарность S-
матрицы в физическом подпространстве, состояния которого соответствуют
полям материи и поперечным векторным квантам, является следствием
принципа относительности, который утверждает, что все наблюдаемые не
зависят от конкретного выбора калибровочного условия. Это подтверждается
явными вычислениями предыдущей главы, где было показано, что явно
унитарный производящий функционал для коэффициентных функций S-матрицы в
кулоновской калибровке может быть тождественно преобразован в функционал,
отвечающий лоренцевой калибровке. Приведенные рассуждения носили, однако,
формальный характер, так как мы не обращали внимания на расходимости,
появляющиеся при вычислении этих функционалов по теории возмущений. В
действительности в квантовой теории принцип относительности следует
применять к свободным от расходимостей перенормированным величинам.
Перенесение этого принципа на перенормированную теорию не является
тривиальным. Перенормировка эквивалентна переопределению исходного
лагранжиана. Поэтому необходимо доказать, что перенормированный
лагранжиан калибровочно-инвариантен. Тогда мы сможем применить к нему
рассуждения предыдущей главы и строго доказать эквивалентность различных
калибровок и, следовательно, унитарность S-матрицы. Последнее утверждение
нуждается в уточнении. Как мы уже видели, явный вид перенормированного
лагранжиана зависит от используемой промежуточной регуляризации.
Сказанное выше относится лишь к инвариантной промежуточной регуляризации,
т. е. регуляризации, сохраняющей формальные свойства симметрии
неперенорми-рованной теории. Это не означает, разумеется, что для
вычисления S-матрицы нельзя пользоваться неинвариантной регуляризацией. В
этом случае, однако, регу-ляризованная теория калибровочно неинвариантна
и рассуждения предыдущей главы, демонстрирующие эквивалентность различных
калибровок, к ней неприменимы. Принцип относительности справедлив теперь
лишь для перенормированной S-матрицы в пределе
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
141
снятой регуляризации. Все это усложняет доказательство унитарности и
делает его значительно менее прозрачным. Поэтому мы начнем описание
процедуры перенормировки теории Янга - Миллса с построения калибровочно-
инвариантной промежуточной регуляризации. Специфика инвариантной
регуляризации калибровочных теорий обусловлена взаимодействием полей Янга
- Миллса в пустоте. Взаимодействие с полями материи не вносит никаких
осложнений: соответствующие диаграммы регуляризуются с помощью очевидного
