Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
неабелевых калибровочных теорий: метод высших ковариантных производных и
метод размерной регуляризации.
Первый метод является, по сути дела, инвариантным обобщением стандартной
процедуры регуляризации, при которой свободные пропагаторы регуляризуются
путем вычитания
!->---------------!--------------!_-_!_ (3 14)
к2 к2 А2-к2 к2-А~2 к4 [ '
(для простоты выписан скалярный пропагатор).
§ 3. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
145
Такое вычитание эквивалентно введению в лагранжиан членов, содержащих
высшие производные
+ Yfjr Пф Пф- (3.15)
В случае поля Янга - Миллса подобная процедура нарушает калибровочную
инвариантность, так как обычная производная не является ковариантным
объектом. Естественное обобщение регуляризации (3.15) состоит в
добавлении к лагранжиану Янга - Миллса члена, содержащего высшие
ковариантные производные, например,
9?ум~+ 3?ум = -g- tr | STnv + -р- nv^a^"nv} =
= | tr { + jr (daFllv - g [sta, F^]?}. (3.16)
Замена (3.16) приводит к желаемой модификации свободного пропагатора,
однако, в качестве платы за инвариантность в лагранжиане взаимодействия
появляются новые вершины. Ниже мы обсудим эту регуляризацию более
подробно, а сейчас заметим лишь, что из-за появления новых вершин с
производными регуляризация является лишь частичной--в регуляризованной
теории остаются расходящимися диаграммы второго, третьего и четвертого
порядков. Таким образом, сам по себе метод высших производных не решает
проблему полностью, а лишь сводит задачу к исследованию су-
перперенормируемой теории, т. е. теории, порождающей конечное число
расходящихся диаграмм. Ниже будет показано, что остающиеся диаграммы
можно регуляри-зовать с помощью несколько видоизмененной процедуры Паули
- Вилларса. В результате мы опишем явно инвариантный лагранжиан, который
порождает сходящиеся (при конечных параметрах регуляризации) диаграммы
Фейнмана. Недостатком этого метода является его сравнительная
громоздкость. Из-за появления в лагранжиане взаимодействия новых вершин,
количество диаграмм сильно возрастает, что затрудняет практические
вычисления. Однако для исследования принципиальных вопросов унитарности и
перенормируемости этот метод
146 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
наиболее удобен, поскольку наличие явно инвариантного выражения для
регуляризованного действия позволяет автоматически перенести на
регуляризованный случай рассуждения предыдущей главы относительно
эквивалентности различных калибровок и тем самым доказать унитарность
перенормированной теории.
В отличие от метода высших ковариантных производных, размерная
регуляризация не сводится к какой-либо модификации исходного лагранжиана,
а оперирует непосредственно с диаграммами Фейнмана. Этот метод основан на
двух наблюдениях:
1. Формальные соотношения симметрии между функциями Грина (обобщенные
тождества Уорда) не зависят от числа измерений пространства - времени
(п).
2. При достаточно малом или комплексном п все диаграммы отвечают
сходящимся интегралом.
Таким образом, обобщенные тождества Уорда можно строго доказать в той
области п, где все интегралы сходятся, а затем путем аналитического
продолжения перейти кп = 4.
Метод размерной регуляризации оказался удобным для вычисления конкретных
диаграмм, и довольно широко используется в практических вычислениях.
Однако с точки зрения исследования принципиальных вопросов он обладает
некоторыми недостатками.
Поскольку при нецелом или комплексном п регуля-ризованной теории нельзя
сопоставить никакого лагранжиана, простое доказательство унитарности,
использующее замены переменных в континуальном интеграле в этом случае
неприменимо и необходимо работать непосредственно с диаграммами Фейнмана,
что значительно более трудоемко. Дополнительные сложности возникают при
регуляризации теорий, включающих фермионы. Поскольку алгебра у-матриц
существенно зависит от числа измерений пространства, такие теории
нуждаются в специальном рассмотрении.
Таким образом, метод высших ковариантных производных и метод размерной
регуляризации в известном смысле дополняют друг друга; первый метод
наиболее удобен для общих доказательств, в которых ис-
§ 1. ЛШТОД ВЫСШИХ КОВАРИАНТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ] 47
пользуется, по сути дела, лишь существование инвариантного
регуляризованного действия, в то время как второй метод более эффективен
для расчета конкретных процессов.
§ 4. Метод высших ковариантных производных
Регуляризация будет состоять из двух этапов: вначале мы путем введения в
лагранжиан высших ковариантных производных перейдем к суперперенормируе-
мой теории, в которой расходится лишь конечное число однопетлевых
диаграмм, а затем регуляризуем однопетлевые диаграммы с помощью
видоизмененной процедуры Паули - Вилларса.
Модификация лагранжиана (3.16) недостаточна для того, чтобы обеспечить
сходимость всех диаграмм, содержащих более одной петли. Лагранжиан (3.16)
хотя и отвечает суперперенормируемой теории, но порождает расходящуюся
