Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычитанием нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора (в данном
случае одного). Разлагая подынтегральное выражение в точке k2 = х,
получаем
+1 *4'--г" - *%?$-]}¦ w
0 '
128 ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
При Л ->" оо второй и третий члены стремятся к определенному пределу,
равному
isrln-J-. <1'S)
Первый член при А -> оо не имеет предела и ведет себя как
= + ...)• (1.16)
Разбиение (1.14) не однозначно. Выбирая в качестве центра разложения
вместо точки к какую-нибудь другую точку, мы получили бы для 2r(?2)
выражение, отличающееся от (1.15) на конечный полином по k2. Таким
образом, общее выражение для перенормированной функции Грина с точностью
до второго порядка по g2 имеет вид
-7T4o(1+^-Wlnf)' <М7>
где &2 - произвольная постоянная.
Замена расходящегося интеграла (1.2) перенормированным выражением (1.15)
эквивалентна модификации исходного лагранжиана. Действительно, заменим
лагранжиан фиктивных частиц следующим выражением:
- Y сдцУцС - у- {с ? с - gcdp [Лц, с] +
+ (22-1)сПс}, (1.18)
где z2 определяется формулой (1.16). Поскольку последний член ~g2, будем
относить его к лагранжиану взаимодействия. Тогда в разложении по теории
возмущений
Рис. 2.
помимо диаграммы (1) появится новая диаграмма (рис. 2), где крестиком
обозначена вершина, отвечающая "контрчлену" (гг-1)сШс.
Очевидно, что поправка к функции Грина, отвечающая сумме диаграмм (1) и
(2), дается формулой (1.17) (при ?2 = 0). На этом простом примере мы
видим, что
§ 1. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
129
вычитание первых членов разложения в ряд Тейлора эквивалентно изменению
(перенормировке) параметров исходного лагранжиана (в данном случае
постоянной нормировки волновой функции фиктивных частиц).
Проиллюстрируем это наблюдение еще одним примером. Вычислим поправку
третьего порядка к вершинной функции , отвечающей переходу двух
фиктив-
ных частиц в одну векторную. Диаграммы, дающие
_а__ к + q к
V
Рис 3. Поправки третьего порядка к вершинной функции Г~У.
(.с а
вклад в Гбс* в третьем порядке по g, изображены на рис. 3.
Для простоты ограничимся случаем нулевого переданного импульса q = 0.
Диаграмме а соответствует интеграл
, ... ;гуаЛ (* - Р)а (* - Р>Д fepgqp , lq,
ia- igz ) (2я)4 ip2 + ,0) l(k _ P)2 + i0]2 ¦ U.iy;
Вводя промежуточную регуляризацию с помощью формулы (1.3) и пользуясь
соотношением
1
! = (-6г (1 ~ г) dz- (120)
а2Ь2 ) \аг + Ь{ \ - г)]4 '
запишем этот интеграл в виде 1 л!
lg3Ea0ckn
(2я )'
v/( J (k-p)a(k- р)^6г(\ -г) 01Ч
Л J Р {[Р~Ь( 1 ~г)? + &{\ -z)z-W
130
ГЛ. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИИ
Замена переменных (1.7) дает
1 Л2
ig3eabck"
(2я)
^ J dz J dX X
о о
Х J Р [p2 + k2(\-z)z-kzV ' { - '
Нечетные степени р не дают вклада по соображениям симметрии. По тем же
соображениям
5 dpPuPvf (Рг) = j Suv ^ dPP2f (Р2)- (1 -23)
Переходя в евклидовой метрике и выполняя интегрирование по р, получаем
. __ ig4abcka N/
'а (2я)4 А
1 Л2
Л .. /тт2
¦ +
? 1 А1
X И dz\ dXz2 (1 - 2) feafe, <fei> (, J? z-^-F ^ 0 0
1 Л .
+ (1.24)
0 <J '
Интегрирование по X дает
X S { T, (1 г _ A I, - virrz) Лг2(1 -2)^ +
0
+ 3&- &ab°k¦* j ln ^тп-ггут^? (1 - 2) & (?2 < 0).
(1.25)
Первый член в формуле (1.25) при Л-"оо стремится к определенному пределу,
а второй логарифмически расходится. Так же как и в случае диаграммы
второго порядка, к определенному пределу стремится выражение, полученное
вычитанием из второго интеграла первого
§ J. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ДИАГРАММ
131
члена разложения в ряд Тейлора. При Л->оо, /а можно
представить в виде
1п =
'а 64it2
(1 h2 \ 6 6 йц Л*
^-1п^г) + ^Л1п-- 0-26>
где b\i - конечная константа, зависящая от выбора точки к.
Совершенно аналогично вычисляется диаграмма Ь. Соответствующий интеграл
имеет вид
1ь~ - ig3e,abc X
w С ^ (k ~ Р)а kp {2piigep Раёрр Ррёца} ёааёрр Л_.
XJ"(2HF К* - р)2 + W] \р2 + Ю]2 •
Повторяя сделанные выше выкладки, получаем при
Л -> ОО
ё3е,аЬсК ( 9 X 3g3eabcku Л2
Вычитая из суммы /0 + h члены, пропорциональные Л2
1пз^, получаем выражение для перенормированной вершинной функции в виде
О-29)
где 8ц - произвольная константа. Сделанное вычитание эквивалентно
введению в лагранжиан контрчлена
{g(2,-l)^Ku с]}, (1.30)
где
1И1п^;+5')- 0-3D
В заключение приведем без вычислений выражения для поправок низшего
порядка к функции Грина поля Янга - Миллса и тройной вершине Гл, которые
описываются диаграммами, изображенными на рис. 4 и 5.
132 гл. IV. ПЕРЕНОРМИРОВКА КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ
Контрчлены, устраняющие расходимости из этих диаграмм, имеют вид
- - {(23 - 1) - д^)2 + 2g (zi - 1) X
X (д^ - <V^v) [^р. ^v]}, d-32)
b\ и b2 - произвольные конечные постоянные.
Как видно, для устранения расходимостей из рассмотренных диаграмм
действительно достаточно переопределить параметры, входящие в исходный
лагранжиан. Заметим, однако, что контрчлены (1.16), (1.30),
Рис 4. Поправки второго порядка к функции Грина поля Янга -
Миллса.
(1.32), вообще говоря, не калибровочно-инвариантны. Их явный вид зависит
