Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^ = ^=|TTf-' ".-Vt4m;,(4.34)
для векторного поля и стандартной подстановкой для скалярного поля о. В
результате свободный гамильтониан принимает вид
^ ft* d3x = ^ d3ft а\ *а(-со, + a*aoa2'j, <о2 == V*2 + гг&.
i=1 (4.35)
Как видно из приведенных выкладок, спектр состоит из трех массивных
векторных частиц и одной массивной скалярной частицы.
Теперь мы можем перейти к обсуждению S-матрицы. В обобщенной
гамильтоновой формулировке выражение для ядра S-матрицы через
континуальный интеграл можно записать в таком виде:
S = lim ^ ехр j у J d3k (аг * 1") а\ (") 4*
-оо i t^l
+ а\ * (ft, t') a) (ft, О) + аа (ft, t") а0 (ky t") +
+ а0 (k, t') cta (ft,О) +
t*
+ i J d3x J dt (1 (FaokAak - FokAt + cr0d - a0a) -
t'
-A (Fob Ak, Bo, B, a0, o) + Л0аСа)|Пб(Ва)(т,+ -1г)3Х X JJ dFok dAk do0 da
dB0 dB dA0, (4.36)
a*6 (ft, t") = a\b (ft) eia>it", abt (ft, t') - a(r) (ft) e~iait'-, (4.37)
"a (*> П = a; (ft) ; aa (ft, /') = aa (ft) (4.38)
116
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
Переменные abt(k, /), а^*(й, t) здесь связаны с Abk{x, t), Fok (*, t)
формулами типа (4.32), (4.33):
Al (х, t) =
3
= ) Z К (*• о (*) + "Г (*. о e-ik"e\ (-ЩХ
i-1
fo/ (ж, 0 =
3
" ЫгГ J I К (*. t)e**~e\{k)-ab*{k, 1)е~**ё\{-ЩХ 1-1
(4,40)
Приведем выражение (4.36) к явно релятивистски инвариантному виду,
подобно тому, как мы это сделали для скалярного поля в § 3 гл. II. Для
этого мы должны проинтегрировать по переменным В, о0, В0 и F0t. и перейти
к пределу при t"-*oо, t'-*-оо. Интегрирование по 0о и связанные с ним
преобразования ничем не отличаются от уже рассмотренного случая
скалярного поля и мы не будем их повторять. Интегрирование по переменной
В о осуществляется после сдвига
Во-> Во - т\Ао, (4.41)
в результате которого она отделяется от остальных переменных. Функции
В0(х) и Л0(х) не участвуют в граничных условиях, так что интегрирование
по В0 приводит только к изменению нормировочного множителя. В результате
сдвига (4.41) к действию добавляется мас-т2
совый член вида -у-Ло для поля А0. Интегрирование по
Bk снимает 6-функции в (4.36).
Для интегрирования по F0k надо сделать сдвиг
Fok = F&1) + d0Ai - dkAl (4.42)
Интегрируя по частям, убеждаемся, что в новых переменных квадратичная
форма действия, полученного из
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ПОЛЯМИ МАТЕРИК
117
(4.36) при уже сделанных преобразованиях, приобретает вид
г
-1J лг::,, л [, + J л J л [т (ем; - а,л;)'+
+ 4W)J-y("'')!]. (4.43)
Сделаем теперь сдвиг переменной s4-y.
Al = Aa^ + A?W, (4.44)
где - решение свободного уравнения движения
(?^ + т^)^°) = 0; (4-45)
порожденного квадратичной формой (4.43). Оно может быть записано в виде
Аьт __
Лц ----
= (ж)h S К{k) e~ikK(k} + eikxK (~*)] lfto=0)l х
х~=, (4.46)
V2o)i
где
"Д - (0. <)• '=1.2; ul = (" JAL, 4) , (4.47)
и векторы е1к, i- 1, 2 введены в (4.32). Отметим, что удовлетворяет
соотношению
д^а = 0, (4.48)
которому должны удовлетворять все решения уравнения (4.45).
Интегрируя по частям, "5^0) можно полностью исключить из квадратичной
формы действия (4.43), в результате чего она принимает вид
\ а'х [(а,а; " - а,а; "О (.4) -\xl_,л|) - i fiAj] ( +
+ 5 dt S Л [ -1 №')! + i (ЙИ5 ¦"> - f +
t'
+41-4! "')']¦ <4">
118
ГЛ. 111. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
Внеинтегральные члены можно выразить через пере-
менные af (ft), аf* (ft), в результате чего первое слагаемое в (4.49)
записывается в виде, аналогичном (II.3.40):
у \ d3k { af * (ft) af (ft) - 1 [af (ft, /") af (ft, Г) +
+ af* (ft, П af (ft, O] - (af* (*. О ~ af* (ft) eto'<')2 _
- (af (ft, /") - af (ft) a-OM")2}. (4.50)
Второе слагаемое в (4.49) остается конечным в пределе t'-*-00, t"оо,
только если
Л06 (х, 0 =
= (аГТS W(4' 0е'" + "*¦'>е~"")'^+
+ Л0Ь(1)(*, 0, (4-51)
где Ло(1) - быстро убывающая функция, так же как
и Fo*(1)* Соотношение (4.42) совместно с таким убыванием и граничными
условиями (4.37), (4.38), если
af * (ft, О = elv>ltaf*ln (ft) + af *, (ft, t'), f -> - 00,
af (ft, И = e~ia,t"af out (ft) + af , (ft, Г), - 00, (4'52)
где af*,(ft, /') быстро убывает при /'-> -oo, a af ,(ft, /")- при t"-*
00. В результате мы видим, что в выражении
(4.36) можно перейти к пределу при t"-*¦ 00, t'-"-00, если переменные
интегрирования Л?(ж, 0 асимптотически ведут себя, как решения свободного
уравнения (4.45)
Л" (ж, /) = Л? 1п (ж, t) + (ж, 0, (4.53)
out out
где Л?,(11п, Л",(1о1й быстро убывают при t-> - 00 и t -*¦ 00
соответственно, а Л" in и Л" out представляются в виде
<о!" = (уг)3/! 5 [af, int(ft)e-№% (ft) +
+ af(ft) (- ft)l I -JgL,, (4.54)
где
af, in (*) = af (ft); af,*out (ft) = af * (ft). (4.55)
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ с полями материи
119
На функции abit out(k) и ab{'in(k) никаких условий не накладывается.
Из (4.54), (4.55) и (4.46) следует, что Л?(1) = = Л? - Л? <0)
удовлетворяет фейнмановским граничным условиям, т. е. Л?(1' не содержит
сходящихся волн при /->-оо и расходящихся волн при t -> оо. На таких
функциях квадратичная форма в (4.49) однозначно определена как
квадратичная форма оператора
