Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 22

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 67 >> Следующая

Это означает, что наша система представляет собой пример так называемой
обобщенной гамильтоновой динамики. Это понятие было введено Дираком.
Рассмотрим его на примере системы с п степенями свободы. Пусть pi и qt ее
канонические переменные, пробегающие фазовое пространство Г2л, а действие
имеет вид
А = ^ piqi - h(p, q) - ^ Щ dt' (2-9)
Lj=i -I
a = 1 ... m\ m < n.
Здесь дополнительные к p и q переменные Xa называются множителями
Лагранжа, а <р" - связи. Такое действие определяет обобщенную
гамильтонову систему, если выполняются условия
{А, фа) = сае(р, q) фр; (фа, фв} = Yj capv (р, q) фv (2.10)
v
с некоторыми коэффициентами с"Р и c"Pv> вообще говоря, зависящими от р,
q. Обобщенная гамильтонова система эквивалентна обычной гамильтоновой
системе Г* с п - т степенями свободы. Фазовое пространство р*2(п-т)
последней системы можно реализовать следующим образом. Рассмотрим т
дополнительных условий
%т(р, q) = 0, (2.11)
S 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
81
для которых выполняются требования
det | {фа, %р} | ф 0, (2.12)
{%"> Xе} = 0. (2.13)
2/1
Тогда подпространство в Г
Ха(Р, <?) = 0, Фа(р, q) = 0 (2.14)
представляет собой искомое пространство г*2(ге_т). Канонические
переменные р*, q* в r*2(ra_m) можно найти следующим образом.
Вследствие условия (2.13) мы можем
выбрать канонические переменные в Г2л так, что %а будут совпадать с
первыми т переменными типа координат
<7 = (Х". ql- (2.15)
Пусть
р = (ра, Р) (2.16)
- соответствующие сопряженные импульсы. Условие
(2.12) в этих переменных имеет вид
det
(?Фа
Ф0, (2.17)
дрв
так что уравнения связей
Ф"(Р. q) = 0 (2.18)
можно решить относительно ра. В результате подпространство р*2(п~т)
задается уравнениями
Xa = qa = 0; ра = ра(р*, q*) (2.19)
и р*, q* являются каноническими. Гамильтонианом этой системы является
функция
Л*(/Л q*) = h(p, q) |ф=0,х=0. (2.20)
Эквивалентность систем Г и Г* означает следующее. Рассмотрим уравнения
движения для системы Г
д I dh , ,0 (5ф" пл. dh 1" <5ф" п /nnt\ Pi + Tq7 + Я ' (2,21)
Ф" = 0.
Решения этих уравнений содержат произвольные функции №(t). Дополнительные
условия %a(p,q)- О
82
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
уничтожают этот произвол, выражая №(t) через канонические переменные. В
результате в качестве уравнений движения остаются уравнения для
переменных р*, q*. Эти уравнения совпадают с гамильтоновыми уравнениями
для системы Г*
dh* . .* dh* ,0 00,
q=W' р =~w (2-22)
Действительно, рассмотрим уравнение (2.19), (2.21) в координатах (2.15),
(2.16). Уравнения qa = 0 приводят к соотношениям, позволяющим найти А,":
+ = <2'23)
Рассмотрим теперь какую-нибудь из координат q*, и
сравним уравнения для нее, следующие из (2.19), (2.21) и (2.22). Они
имеют вид
х* <5/г т 1 а ?*Фа moil
q ~w+ ~W' { '
.* dh* dh . dh dpa
4 dp* dp* r dpa dp* (2'25^
соответственно. Правые части этих уравнений совпадают, если
= (2.26)
dp* dpa dp* v '
Используя уравнение (2.23), это условие можно переписать в виде
<227>
Это равенство выполняется в силу условия связи фа = 0. Переменные р*
рассматриваются аналогично. Утверждение доказано.
Изменение выбора дополнительных условий сводится к каноническому
преобразованию в пространстве Г*2(,!~т), и поэтому не влияет на физику
задачи.
Для квантования системы Г можно использовать независимые переменные р*,
q*. Тогда оператор эволюции будет задаваться континуальным интегралом
J ехр { i [p*q - h {р\ q*)] d/} Д dp(2^ , (2.28)
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
83
где фиксируются начальные и конечные значения координат q*. Однако на
практике связи не всегда легко решить. Поэтому желательно уметь работать
непосредственно в терминах обобщенной системы Г. Нетрудно убедиться, что
континуальный интеграл
( ехр | / ( [.М; - h (р, q) - /Л(" ip, c/ll dt | X
x Пs (*") П J'11 ff*' *">' П т#11- <2-29>
t, a t t
совпадает с интегралом (2.28). Действительно, интегрируя по к, формулу
(2.29) можно переписать в виде
J ехр {i jj [piCjt - h (p, q)] dt} X
X П 6 (*") 6 (Ф") П det I (Фа. IП ' (2'3°)
t, a t t
В переменных pa, qa, p*, q* множитель
]IS(<jpa)6(xa)det| {фа, xp> I (2.31)
переписывается в виде
Дб(Фа)бЫйе1 JjH == Д 6 {qa) б [ра - Ра (/Л <?*)]• (2.32)
t Р 1 t
В результате после интегрирования по ра и qa интеграл (2.29) сводится к
(2.28).
Сравнение формул (2.5) - (2.8) и (2.9), (2.10) показывает, что поле Янга
- Миллса действительно представляет собой обобщенную гамильтонову
систему. Применим для ее квантования описанную только что процедуру.
Ясно, что роль дополнительного условия в этом случае должно играть
условие калибровки. В качестве такого условия мы выберем соотношение
дкак = 0. (2.33)
Это условие допустимо. Действительно, очевидно, что {дкАЦх), d,Abt{y)} =
0. (2.34)
84
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
Далее
{Са (х), дкАьк (0)} = дк [дкЬаЬ - gtaVcAck (а)] б (х - у). (2.35)
Оператор Мс = АбаЬ - gtabcAk (х) дк в рамках теории возмущений обратим.
Обратный оператор М?! является интегральным оператором, ядро которого
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed