Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Славнов А.А. -> "Введение в квантовую теорию калибровочных полей " -> 21

Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.

Славнов А.А., Фадеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей — М.: Наука, 1978. — 238 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievkvantovuuteoriu1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 67 >> Следующая

(1.4)
§ 1. ЛАГРАНЖИАН ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
77
Уравнения движения
= [*^и> ^~]xv\ ~ 0 (1.5)
представляют собой уравнения второго порядка относительно st-ц и
калибровочно-ковариантны: если ^ц(х)- решение уравнений движения, то для
любой ш(х) решением будет и (х), где со произвольным образом зависит от
х. Это значит, что уравнения движения (1.5) не независимы. И
действительно, нетрудно проверить, что
VvV/,v = 0. (1.6)
Для доказательства представим VvVu в виде
VvV^ = | (V^ + V^V,) + 1 (VvV^ - V"Vv). (1.7)
Вспомним, что для любой матрицы &(х) в присоединенном представлении
(VvV, - V^Vv) & (х) = [ Щ. (1.8)
В силу антисимметрии по ц и v получаем
= Y [^"nv. ^*pv] = (1-9)
Тождество (1.9) является частным случаем второй теоремы Нетер,
утверждающей, что из инвариантности функции Лагранжа относительно
преобразований, зависящих от произвольной функции, следует линейная
зависимость уравнений движения.
Отмеченная специфика уравнений движения проявляется и при их квантовании.
Действительно, некоторые из функций, параметризующих классическое
решение, произвольным образом зависит от времени и не подчиняются
динамике. При квантовании мы должны разделить истинные динамические
переменные и групповые параметры. Этой задачей мы будем заниматься в
следующем параграфе.
Покажем теперь, почему не проходит наивный перенос правил построения
теории возмущений, разработанных в предыдущей главе, на случай полей Янга
- Миллса. Согласно рецепту главы II при заданном
78
ГЛ. III. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА -МИЛЛСА
лагранжиане 3? для построения теории возмущений мы должны представить его
в виде
# = 2'o + 2'i"t, (1.10)
где 3?о - квадратичная форма по полям, a 3?ш содержит формы, более
высокие по полям. Одночлены в определяют вершины с тремя и более концами,
а За оп-ределяет функции распространения, отвечающие внутренним линиям. А
именно, функция распространения является ядром интегрального оператора,
обратного дифференциальному оператору, определяющему квадратичную форму
j?0.
Для лагранжиана поля Янга - Миллса 3?0 с точностью до несущественной
дивергенции имеет вид (в нормировке stu-ygj#",)
2о = -\ (<Vl? - ДХ) {dvAl - <?ДА") =
= -^1д*А"дЖ-дЖдЖ1 (1.11)
В импульсном представлении квадратичная форма 3?о задается выражением
Kv(k) = bab(^2-KK). (1.12)
Этот оператор не имеет обратного, и следовательно, функция
распространения не определена. Причина этого состоит в том, что, как уже
отмечалось, не все компоненты поля Янга - Миллса являются независимыми
динамическими переменными. Аналогичное затруднение возникает, как
известно, в квантовой электродинамике. В этом случае используется
формализм Гупта - Блей-лера, который рецептурно сводится к следующему: в
качестве пропагатора фотона выбирается функция
D^(k2) = --^~Q, (1.13)
и показывается, что построенная с его помощью 5-матрица унитарна.
Обобщая этот рецепт, можно было бы попробовать строить теорию Янга -
Миллса, используя пропагатор
r\Ob S°*gu,v ,. ...
§ 2. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
79
Однако, как показал впервые Фейнман, такое построение теории возмущений
недопустимо. Вычисленная с таким пропагатором 5-матрица не унитарна.
Поэтому необходимо пересмотреть вывод правил теорий возмущений,
отправляясь от причинного описания динамики классических полей поля Янга
- Миллса, в качестве которой удобнее всего использовать гамильтонову
формулировку этой теории.
§ 2. Гамильтонова формулировка поля Янга-Миллса и его квантование
Для того чтобы построить корректную процедуру квантования, мы должны
прежде всего найти истинные динамические переменные для поля Янга -
Миллса и убедиться, что они меняются со временем по законам гамильтоновой
динамики. После этого мы сможем воспользоваться для построения оператора
эволюции развитым в предыдущей главе формализмом континуального
интегрирования. Рассмотрим более подробно структуру функции Лагранжа поля
Янга - Миллса. Удобно использовать функцию Лагранжа в формализме первого
порядка:
¦2'=~^-tr [*^Д> ^vl 2~ > (2-1)
где и считаются независимыми переменными.
Очевидно, что этот лагранжиан и следующие из него уравнения движения
эквивалентны лагранжиану (1.3).
В трехмерных обозначениях (р = 0, k\ v = 0, /; k, I = = 1, 2, 3) мы можем
переписать лагранжиан в виде (с точностью до дивергенции)
S" ?tr { ***** " ? (** + ^*) + } ' <2-2>
где
= ^ = V=*dk&k-glstk, ё?к] (2.3)
и мы считаем, что 9~ik выражено через sf-i с помощью уравнений движения,
не содержащих производных по времени
ik = dksli - + s&k\. (2.4)
80
ГЛ. 111. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ЯНГА - МИЛЛСА
Этот же лагранжиан можно записать в виде
2= EtdoAt - h (Ek, Ak) + A%Ca, h = \ {{Eff + (G?)2}.
(2.5)
Из вида лагранжиана (2.5) ясно, что пары(??, Af) являются каноническими
переменными, h - гамильтониан Ао - множитель Лагранжа, Са - связь на
канонические переменные. Вводя скобки Пуассона
{ЕЦх), А1(у)} = ЬыЬаЬ6(х-у), (2.6)
нетрудно проверить, что
{Са(х), Cb(y)} = gtabcCc(x)b(x-y) (2.7)
и что
{ 5 d3x \{Eff + (Gtfl Сь (у)} = 0. (2.8)
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed