Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где и - канонический параметр.
Рассмотрим теперь с евклидовой точки зрения теорему Грина. Формула
(1.257) представляется удобной при некоторой привычке иметь дело с
тензорами, ибо здесь инвариантно подынтегральное выражение и
инвариантен элемент объема. Однако эта формула применима лишь в
случае, когда
интегрируется дивергенция векторного поля. Лучше вернуться снова к
элементарной формуле (1.233) и обобщить ее на случай пространства -
времени, рассматриваемого как евклидово в указанном выше смысле. В самом
деле, обычный метод, обобщенный на случай евклидова четырехмерного
пространства, сразу же приводит к формуле
^dx1 dx2dx3 dx* - ^ U^dS, (6.90)
V" V3
где V4 -область пространства-времени, ограниченная замкнутым V3l /г4 и dS
представляют собой соответственно внешнюю единичную нормаль и трехмерный
элемент объема V3, причем и то и другое вычислены в предположении
евклидовой метрики. Нет никаких оснований ограничиваться только одной
функцией U; рассуждая по аналогии, получаем
^ i dx1 dx2 dx3 dxi = ф Uih щ dS. (6.91)
Vi v3
Пусть уравнение, определяющее V3, имеет вид
f(x) = 0, (6.92)
где f(x) возрастает в направлении внешней нормали. Тогда
"4 = ЫЫ,,Г1/г. (6-93)
и с помощью ортогонального проектирования получим
n4dS = v dx1 dx2 dx3, (6.94)
где v= T 1 или - 1, в зависимости от того, положительно или отрицательно
Пц. Таким образом, (6.91) можно записать в виде
^U^^dx1 dx2 dx3 dx* = dx*dx2dx3. (6.95)
Vi v3 ,4
Если Uiknk = 0 на V3, to Ujkfth = 0, и, полагая в равенстве (6.95) i = k,
получаем
\ Uihik dx1 dx2 dx3 dx* = 0. (6.96)
§ 6. Уравнения движения изолированного тела
213
а внутри трубки
§ 6. Уравнения движения изолированного тела
Обратимся снова к случаю изолированного тела, уже рассмотренному в гл.
IV, § 7. Его траектория представляет собой трубку мировых линий, причем
на стенке трубки (2)
Т% = 0, (€.97)
Т% =0. (6.98)
Поскольку справедливы уравнения поля, то очевидно, что совершенно
безразлично, будем ли мы оперировать с тензором Эйнштейна Gi;-
(геометрия) или с тензором энергии (физика). Мы воспользуемся второй
возможностью.
Продолжая рассмотрение в духе предыдущего параграфа (т. е. встав на
евклидову точку зрения) выпишем тензорное уравнение (6.98) в явном виде
r|j +Г^Г" + Г^Та,=0.
Поскольку
. !____________
a,~V-g
(V- &).а,
(6.99) (6.100)
(6.99) можно записать в виде
У
где
Г,
^ = Y-gTij
(6.101)
(6.102)
Г= -ГлУаЬ.
(6.103)
Хотя мы преднамеренно избегаем тензорных воззрений, заметим мимоходом,
что У1' -тензорная плотность или относительный тензор веса 1 (Синг и Шилд
[1190], стр. 198, 241).
Рассечем теперь мировую трубку в поперечном направлении двумя плоскостями
(х4 = а и х4 = Ь, см. фиг. 66) и обозначим через У4 область пространства
- времени, ограниченную этими плоскостями и поверхностью 2. С помощью
теоремы Грина в форме (6.95) получим
J ^iy, jd4x = ф У"ч (j+) d3x, (6.104)
Vi v3
где ДЛЯ краткости ВЗЯТО Фиг. 66. Мировая
трубка, рассеченная ев-d4x = dx1dx2dx3dxi, d3x = dx1dx2 dx3, (6.105)
клидовым способом.
a f(x) = 0 -уравнение замкнутого У3, образованного с помощью 2 и двух
плоских сечений. Теперь, ввиду (6.97), мы имеем
yijf,j = 0 на 2,
/.4
v = 1 на х4 =
на х4 = й их4
¦ь,
(6.106)
b, v= - 1 на х4 = а.
214 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Следовательно, (6.104) дает
4*\^лх = J ^d3x- J ^"d3x, (6.107)
У4 х*=Ь зс4г=а
или, согласно (6.101),
J ЗГ'^&х- ^ ^\d3x = J Г' d4x. (6.108)
х*=Ь **=а V*
Производя деление на (Ь - а) и переходя к пределу при Ь->а, получаем
J ЗГкЫ3х = J r*d8x, (6.109)
где интеграл берется по некоторому сечению х4 = const.
Аналогичным образом можно вывести другую формулу. Мы имеем
(хк^]),= ^ik + xhJ-4,= jTik + хкГ, (6.110)
и, следовательно,
x\Ti4d3x- J х\^м d3x = J (^ih + x^4) d4x. (6.111)
**=b -a V"
Придавая k значения 1, 2, 3 (обозначаемые греческими индексами)
и переходя, как и ранее, к пределу, получаем
j;; ^ х" d3x = J (^" + х°Т4) d3x. (6.112)
При i=4 это уравнение дает
jjj ^ х" ^"44 d3x = J (^ + х°Т4) d3х. (6.113)
С'другой стороны, если взять в (6.112) вместо i индекс р, поменять
местами аир, произвести вычитание и учесть свойства симметрии тензора ,
то получится
^ J (х" .ГР4 - хР.Г"4) d3x = ^ (х"Гр - хР Г") d3x. (6.114)
Чтобы записать полученные ранее уравнения в более компактном виде, введем
новые обозначения. Кроме того, чтобы добиться большей физической
наглядности, примем некоторые названия. Определим1)
4-импульс тела = ЛГ = ^ .Г*4 d3x,
Момент импульса тела = //"р= ^ (х".Гр4 -хР ^ai)d3x, (6.115)
Центр масс тела = х", М*ха = ^ х" .Г44 d3x.
Заметим, что
^ (х" - х") .Г44 d3x = 0. (6.116)
*) В основных чертах (но не во всех деталях) мы следуем методу Ланчоса
[605].
Определения (6.115) используются лишь временно; они противоречат самому
духу книги, поскольку приписывают физические названия величинам, не
имеющим инвариантного определения.
§ 6. Уравнения движения изолированного тела
215
? = ^+лИ(*а-*а)гМ3*- (6Л20>
