Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 107

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 211 >> Следующая

это следует из (7.17), они расходятся по экспоненциальному закону и нигде
больше не встречаются, если только это не обусловлено каким-либо
топологическим ограничением, которое можно наложить.
Если К < 0, то пространственноподобная и временноподобная геодезические
меняются ролями (фиг. 69). Пространственноподобные геодезические,
исходящие из Р', снова встречаются в Р через период времени
5 = я(-К)-,/*. (7.29)
Этот результат вытекает из формул (7.18) и (7.19). Тот факт, что
временноподобные геодезические встречаются, кажется странным, и поэтому
лучше его больше не касаться, поскольку метод геодезических отклонений
фактически не позволяет изучить это свойство адекватным образом.
р ^ Временноподобные
// геодезические
S = n(-K)~I
Пространственно-> подобные геодезические
Фиг. 69. Геодезические в пространстве де Ситтера сК<0.
Пространство де Ситтера можно рассмотреть различными способами (Шредингер
[1075]), каждый из которых представляет свой особый интерес. Однако чтобы
сделать более прозрачными вопросы топологии, лучше всего рассматривать
пространство де Ситтера как четырехмерное пространство К4, вложенное в
плоское пятимерное пространство VC с евклидовой топологией. Пусть
индексы, обозначаемые прописными буквами, принимают значения 1, 2, 3, 4,
5. Рассмотрим плоское V6 с координатами хА, каждая из которых меняется в
пределах от - оо до --[-оо, и метрической формой
'Е = r\ABdxAdxB, (7.30)
где т]ав - диагональная 5 х 5-матрица с элементами ± 1 (более определенно
мы их не специализируем). Когда мы говорим, что топология Кь евклидова,
то это просто означает, что имеет место взаимно
однозначное
соответствие между точками V& и пятью координатами хА (фактически
"точка" означает задание пяти координат). Определим К4 с помощью
уравнения
ЦавХахв = С,. (7.31)
где С - постоянная. Его можно записать также в виде
(^5)2 = Т166(С-%Л'), и, следовательно, для любого смещения в К4 мы имеем
хЧхь= -
15 Дж. Л. Синг
(7.32)
(7.33)
226
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
Следующим шагом будет вычисление кривизны V4. Кривизна относится к
локальным свойствам, и мы будем пользоваться в качестве координат х1, не
обращая внимания на то обстоятельство, что уравнение (7.32) определяет х5
лишь с точностью до знака. Метрика, индуцируемая в метрикой (7.30), имеет
вид
Ф = т) ijdxldx1 + (C - S)'1 (т\ихЫх')2 = giiixid х', (7.34)
где
Sij "Hij т У\Уj (Р *S) 1
0i = Tlifc*\ (7-35)
5 = = гд*1 = ЛцМу
Тензор представляет собой метрический тензор У4. Методами матричного
исчисления легко доказать (или проверить непосредственно), что тензор,
сопряженный ему, имеет вид
?*' = тhj-xVC-1. (7.36)
Пространство V4 либо содержит, либо не содержит точку V6, для которой х1
=¦ 0. Если реализуется первая возможность, то, как это видно из (7.35),
мы должны выбрать
т)у = diag (1, 1, 1,-1), (7.37)
для того чтобы метрика V4 могла иметь правильную сигнатуру, т. е.
сигнатуру геометрии пространства -времени.
Теперь нетрудно вычислить символы Кристоффеля и, следовательно, с помощью
(1.88) тензор Римана для У4. В результате вычислений получаем
Гу = С~1ха [тщ + (С - 5)_1г/^],
Riikm = C 1 (gihgjm glmMiti)- (7.38)
Следовательно, в соответствии с (1.101) У4 есть пространство де Ситтера в
том смысле, что оно представляет собой четырехмерное пространство
постоянной кривизны
К^С'1. (7.39)
Решив изложенным выше способом вопрос о топологической структуре, можно с
полной определенностью исследовать свойства вложенного пространства де
Ситтера1). Примем здесь без математического доказательства, что
геодезические в пространстве У4 (аналогично большим окружностям на
обычной сфере) представляют собой пересечения У4 с двумерными
плоскостями, проходящими через начало координат У5. Это позволяет
значительно упростить рассмотрение этих геодезических, если ввести
векторные обозначения, полагая РЛ = Р, хл = х, и использовать скалярное
произведение
Р-0 = тц bPaQb- (7.40)
В силу (7.31) и (7.39) уравнение У4 имеет вид
х * х - ТС"1. (7.41)
*) Чтобы не слишком обременять рассуждения, ограничимся анализом только
антиполярных случаев. Для перехода к полярному случаю следует
отождествить диаметрально противоположные точки в V4, т. е. точки,
лежащие на прямой линии в Vb, проходящей через начало ¦ координат V5.
§ 1. Пространство - время постоянной кривизны
227
Следовательно, для бесконечно малого смещения в пространстве V4 имеем
x-dx = 0. (7.42)
Пусть х = Р - произвольная точка на V4> а Г - геодезическая в V4,
проведенная в направлении вектора Q. Тогда
РР = Г, Р Q = 0. (7.43)
Параметрическое уравнение двумерной плоскости, проходящей через Р и Q,
имеет вид
x = pP + qQ, (7.44)
где р и q пробегают все возможные значения. В таком случае кривая Г
представляет собой пересечение пространств, определяемых уравнениями
(7.41) и (7.44). Фактически (7.44) является параметрическим уравнением
для Г, если р и q удовлетворяют уравнению
(pP + 9Q).(pP + <7Q) = A:-1, (7.45)
где р = 1, а р= 0 в точке Р. Мы имеем
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed