Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В этом параграфе мы сосредоточим внимание главным образом лишь на одном
свойстве Gi;, а именно, на тождестве
СЪ = 0, (6.8)
которое фактически представляет собой дифференциальный закон сохранения.
Для перехода к интегральной форме, введем произвольное векторное поле Л,,
и будем интегрировать по некоторой области У4 пространства - времени;
имеем
$С'|,М^ = 0- (6-9)
Чтобы придать последнему соотношению вид интегрального закона сохранения
(6.3), выполним интегрирование по частям и используем теорему Грина
(1.257). Получаем
фе (N)GvkiNid3v= ^ Gl%u4tv, (6.10)
v3 v4
где V8 -замкнутое трехмерное подпространство, ограничивающее Vt, а ЛЛ -
единичная внешняя нормаль. Если бы только правая часть (6.10) обращалась
в нуль, мы получили бы интегральный закон сохранения в виде
$¦
)e(A0Gt;VV8o = 0. (6.11)
V"
Чтобы получить этот результат, можно выбрать так, чтобы удовлетворялось
уравнение
G%,.=0. (6.12)
Это можно сделать различными способами, поскольку здесь лишь одно
уравнение для четырех неизвестных. На самом деле, можно выбрать
произвольное векторное поле v4 и положить;
Xi = i|3v1, (6.13)
где ф-некоторый скаляр. Тогда (6.12) будет удовлетворено, если ф
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
с'Ч^,} + с'ЧоФ = 0- (6-14)
Соответствующий интегральный закон сохранения имеет вид
<§&(N)tyGi,viNjd3v=0. (6.15)
vs
Этот метод можно привести к более систематическому виду, выбрав в
качестве вектора vt один из четырех единичных собственных векторов Gi;-,
так что
Gi'vi = 9v,> (6.16)
где ф - соответствующее собственное значение. Тогда дифференциальное
202 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
уравнение в частных производных для г|) принимает вид
Ф*Ч"- + (Ф.+ qwf,.) г|)=0. (6.17)
Если можно интерпретировать в терминах геометрии конгруэнции кривых,
имеющих vl в качестве единичной касательной. Отсчитывая s от некоторого
трехмерного пространства, пересекающего v-линии, и обозначая через Да 3-
объем нормального сечения бесконечно тонкой трубки,
образованной из v-линий, мы имеем
1 d<f
1 йД а
=-------------
|j Да ds
Вместо (6.17) получится
^ ^ d<p , 1 йДа
d\1)
Щр________________
ds ' *Р Да ds
)ф=0,
(6.18)
(6.19)
(6.20)
откуда следует, что
г|)фДа = Д&,
где Д& - постоянна вдоль каждой v-линии. Тогда закон сохранения (6.15)
приобретет вид
Д*
Ф и г. 63. Трубка линий, заданных собственными векторами G{y.
^ е (N) va
. vW,-rfao = 0. Да } 3
(6.21)
Возьмем теперь в качестве У4 трубку в пространстве-времени, образованную
из собственных v-линий, и ограниченную трехмерными "колпаками" У, и У"
(фиг. 63). Тогда на боковых границах трубки v'Nj = 0, и (6.21) можно
записать в виде
^ е (AT) vWydst, = 5 в (N) vWyd3a, (6.22)
vs vl
где нормаль ЛР ориентирована, как показано на фиг. 63. Теперь
-z(N)v'Nj имеет один и тот же знак на У, и У3. По формуле для проекции
получим
| е (N) \'Nj |d3v - До, (6.23)
что позволяет представить закон сохранения (6.21) в самой
простой
форме
^ г|хрДа= ^ ффДа. (6.24)
§ 3. Пространство -время, допускающее группу движений
Мы выяснили, каким образом можно выбрать векторное поле A,t, такое, чтобы
правая часть (6.10) обращалась в нуль, что приводит к интегральному
закону сохранения (6.11). Эта процедура оказывается проще, если
пространство -время допускает группу движений.
Понятие группы движений можно разъяснить следующим образомх). Рассмотрим
в пространстве -времени (фиг. 64) конгруэнцию кривых (С),
*) Более последовательно этот вопрос рассмотрел Эйзенхарт [311].
Классификацию V4 и пространств Эйнштейна, в частности, по группам
движений см. Петров [903], тл. IV, V.-Прим. ред.
§ 3. Пространство - время, допускающее группу движений
203
на каждой из которых задан параметр и, и, следовательно, определенный
касательный вектор
(6,25)
Возьмем две произвольные точки Рг и Р,, и пусть значения параметра в этих
точках равны иг и и[ соответственно. Сместим теперь эти точки вдоль С
так, чтобы они заняли положения Р2 и Р2 со значениями параметра иг и ы',
где
иг = и1 + Аи, ы' = ы' + Лы. (6.26)
Исходя из понятия мировой функции1), говорят, что пространство - время
допускает группу движений, если
Q(p2p;) = Qi.(p1p;) (6.27)
при условии, что это соотношение справедливо для каждой пары выбранных
нами точек Рг и Р[ и для каждого значения приращения А и.
Очевидно, что (6.27) эквивалентно уравнению
0^ + 0,-^' = 0, (6.28)
где левая часть представляет собой двуточечный инвариант для произвольной
пары точек Р, Р'. Если и -канонический параметр на геодезической Р'Р и V1
= dxl/dv (так что $Vl/&v = 0), то в силу (2.17) уравнение (6.28)
эквивалентно следующему:
У%-У1'& = 0. (6.29)
Определим ? с помощью соотношения
^ = (6.30)
где означает векторное поле. Дифференцируя вдоль геодезической Р'Р,
получаем
^ = (6.31)
Поскольку с очевидностью Т = 0, когда Р'=Р, то, следовательно,
необходимое и достаточное условие того, чтобы определяли группу движений,
записывается как
?щ+^г=0. (6.32)
