Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 98

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 211 >> Следующая

Эти десять уравнений называются уравнениями Киллинга, Мы будем называть
вектором Киллинга, а - тензором Киллинга. Заметим, что этот тензор
кососимметричен. Ниже рассматриваются некоторые свойства вектора и
тензора Киллинга. Согласно (1.94),
btik-bi" = tfoi,fcSe. (6.33)
Производя две циклические перестановки индексов ijk, складывая полученные
результаты и используя (6.32) и (1.90), получаем
?i|jfc + ij|fci+?ft|ij - 6. (6.34)
Фиг. 64. Пространство - время, допускающее группу движений.
1) Определение группы движений можно сформулировать также в терминах
бесконечно малых, беря точки pt и р[ соседними, а приращение Дм-
бесконечно малым.
204 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Будем говорить, что тензор Киллинга имеет нулевую циклическую
дивергенцию. Если ввести дуальный тензор с помощью соотношения
(6.35)
то мы получим
=0. (6.36>
Применив (6.32) к первому члену в (6.34), придем к соотношению
- ?j|ih + ?• |!?i + ij = 0. (6.37}
Здесь первые два члена можно объединить, согласно (6.33), и,
следовательно, ковариантную производную второго порядка от вектора
Киллинга можно записать через тензор Римана и сам вектор Киллинга
следующим образом:
Ь|"=Я""к?а = Я"/вЕ0. (6-38)
Умножив это выражение на gl}, получаем (через обобщенный далам-бертиан)
Dlh = (6-39)
Так как трехмерный элемент объема dxlih кососимметричен по каждой паре
индексов, то из (6.34) следует, что
|1|ЛЛ,'л = 0. (6.40)
Следовательно, в силу (6.6) для любого замкнутого У2 справедливо
§6.
Мт'7=0. (6.41)
Va
Если в формуле (6.10) вместо подставить то правая часть в силу (6.32)
обращается в нуль, и, следовательно, для пространства - времени,
допускающего группу движений с вектором Киллинга lit справедлив
интегральный закон сохранения
^e(N)G%Afjdgii=0. (6.42)
v8
§ 4. Интегральные законы сохранения, связанные с тензором Римана
Те части V3, которые относятся к пустым областям пространства - времени,
не вносят никакого вклада в сохраняющиеся интегралы в формулах (6.11) и
(6.42), так как в таких областях Gi}=0. Однако можно предполагать, что
гравитационное поле должно дать свой вклад даже в пустом пространстве -
времени, и поэтому мы обратимся к интегральным законам сохранения,
связанным не с Gljt а с Rijhm.
Если Fl} - некоторый кососимметричный тензор, то, как и в (6.6),
§Fl'Rijhmdxhm = \ F?nRiihmdTh'(tm). (6.43)
Vg Vs
Член, появившийся в результате дифференцирования тензора Римана, исчез,
поскольку вследствие тождества Бианки (1.98)
/?"km,"dTfcm? = 0. (6.44)
§ 4. Интегральные законы сохранения, связанные с тензором Римана 205
Следовательно, независимо от природы Fij, выполняется интегральный закон
сохранения
§Fl[nRijhmdxk(tm) = 0. (6.45)
v8
Наша задача состоит в том, чтобы подобрать какой-то тензор F1', который
определялся бы геометрией пространства -времени, а закон, получающийся
при его подстановке в (6.45), напоминал в какой-то мере ньютоновские
законы сохранения.
Мы могли бы, например, взять в качестве Fli собственный тензор1) тензора
Римана, т. е. тензор, удовлетворяющий уравнениям вида
/ri%'fem = <p^fein- (6.46)
Однако для стоящей перед нами сейчас задачи этот выбор не приводит к
интересным результатам, и мы не станем рассматривать этот случай глубже.
Вместо него возьмем мировую функцию Q(P, Р'), где Р - текущая точка
(событие) интегрирования, а Р' - некоторая базисная точка, которая на
протяжении дальнейших рассуждений считается фиксированной. Положим
-i-x-V">*QpQ 'arq, х = 8я. (6.47)
Эта величина ведет себя как кососимметричный тензор относительно
преобразований координат точки Р и как ковариантный вектор по
отно-
шению к преобразованиям координат в точке Р'. Выбирая некоторое замкнутое
подпространство V2, определим величину Ма> с помощью соотношения
М.. = ^.Rijhmdxhm. (6.48)
va
Она ведет себя как ковариантный вектор при преобразованиях координат в
Р'. Присутствие штрихованного индекса не нарушает равенства {6.43), и,
следовательно,
ма> = 5 F"\n Rijkm dxk(tm), (6.49)
Vs
где V3 -любое открытое трехмерное пространство, ограниченное Vt. Мы
получили вполне определенную геометрическую величину, и ей необходимо
дать название. Однако последнее представляет собой не лишенную опасностей
процедуру, так как не исключено, что, выбирая какое-либо привлекательное
название, мы внесем путаницу в употребление этого названия в других
присущих ему смыслах. Из соображений, которые будут изложены позднее, мы
назовем Ма- потоком полного 4-импульса через открытое трехмерное
пространство V3 относительно базисной точки Р'. Аналогичным образом,
определим
Fa'b' = Y и_1т1Урв Фа'р Пь' п, - Пь'г^а'П, - QQa-vQb'q). (6.50)
*) Собственный тензор можно определить как некий бивектор,
представляющий
собой аналог собственного вектора двухвалентного симметричного тензора
(аар^=
= Ф^а). - Прим. ред.
206 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Относительно преобразований в точке Р' эта величина является
кососимметричным тензором. Положим
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed