Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При вращениях осей координат это выражение преобразуется как 3-век-тор,
и, если принять естественное допущение [см. (4.146а)]
.Г44>0, (6.117)
то отсюда следует, что каждая плоскость, проходящая через центр масс,
пересекает данное тело. Следовательно, если тело выпуклое, центр масс
лежит внутри его.
Если положить x* = t, то из уравнений (6.109) и (6.114) следует, что
ой (6-118)
= a)d3x.
Кроме того, в силу (6.113)
jt (М4*") = Ма + \ Г4 d3x, (6.119)
откуда для 3-скорости центра масс получим следующее выражение:
dt
Замечательная особенность приведенных выше рассуждений состоит в том,
что, выйдя за рамки требования тензорной инвариантности, мы пришли к
нескольким чрезвычайно простым уравнениям, допускающим физическое
истолкование. Согласно (6.118), скорости изменения 4-импульса и момента
импульса выражаются через величины, которые можно рассматривать как
гравитационную силу и момент силы, действующие на тело, в том смысле,
что, если отсутствует гравитационное поле, а координаты выбраны так, что
Г)к обращаются в нуль, то и упомянутая 4-сила и момент силы также
обращаются в нуль. Далее, если в уравнении (6.120) пренебречь последним
членом, то оно будет означать, что 4-импульс М1 направлен вдоль 4-
скорости V1 центра масс.
Однако в каком положении мы сейчас относительно принципов инвариантности?
С самого начала мы опирались на геометрические понятия: трубка мировых
линий, метрический тензор и симметричный тензор TLi, удовлетворяющий
(6.97) и (6.98). Но, как только было произведено поперечное сечение
мировой трубки, все последующие результаты стали зависеть от вида этого
сечения. Кроме того, координаты в наших рассуждениях были также введены
неинвариантным способом. Поскольку с точностью до некоторых общих
ограничений здесь применима любая система координат, то следует признать,
что мы получили для центра масс не единственную мировую линию С, а
множество таких мировых линий. Аналогично неоднозначным образом
определены 4-импульс М1 и момент импульса
Таким образом, перед нами открывается интересная возможность -
восстановить единственность и инвариантность результатов, прибегнув к
некоторому статистическому методу, который позволил бы учесть все
возможные выборы систем координат. Однако такого рода честолюбивая
программа, пожалуй, не для этой книги.
Вместо этого мы обратимся к точным уравнениям, выписанным выше, и
попробуем найти приближения, с помощью которых можно "доказать"
справедливость гипотез о геодезических; для этого нужно показать, что
центр масс бесконечно малого тела движется по геодезической.
Переходя к приближенным вычислениям, полезно выяснить вопрос о
размерностях входящих в них величин1). Масса, длина и время имеют
Ч См. замечания относительно бесконечно малых в гл. II, § 3.
216 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
одинаковую размерность (обозначим ее (П). Будем использовать координаты
размерности 17]. Тогда
Ш = [П [ГУ = [Г1],
[ТЧ] = {.ТЧ\ = [Г2], [Г*] = [Г"], (6.121)
[$r*d"* ]=[*"], [Л**] = [/],
[ J (ха - ~ха) Tidsx j =¦[/].
Последний член в уравнении (6.120) оказывается безразмерным и при прочих
равных условиях стремится к нулю при стремлении к нулю объема
рассматриваемого тела. Кроме того, в случае слабого поля можно, попросту
выражаясь, считать Г)к малыми. Следовательно, в случае, когда размеры
тела малы, этим членом можно пренебречь, и тогда (6.120) принимает вид
dxa Ма
Чг=-Ж- (б-122)
Следующий шаг несколько более сомнителен. Мы хотим считать Г'й
постоянными на сечениях t = const. Чтобы обосновать приемлемость этого
допущения, мы утверждаем, что, если З"1* малы (по сравнению с чем?), то
влияние тела на поле оказывается очень малым, и поле определяется главным
образом другими телами (последние не конкретизируются). Следовательно,
Г*й на протяжении малого сечения меняются незначительно. Таким образом,
мы имеем (заметим, что рассматриваемая величина является безразмерной)
J J Г^,п = _Т^пфт,\ (6.123)
где
ф" = ^ JTmn d3x, ф14 = Af. (6.124)
Здесь ГттТзаписаны в системе центра масс. Таким образом, из (6.118)
следует, что
^=-Г^"Фтп. (6.125)
С помощью дифференцирования (6.122) получаем
= (Л1*р (Гт" ЛГ - Г"" М4) фтп =
= (МГ1 (Ттп^-Гтп) ф(tm), (6.126)
или
Л14^- + Г"пфт"=г^пфт"^. (6.127)
Эти уравнения имеют смысл уравнений движения центра масс.
Вводя в рассмотрение плотность, 4-скорость и натяжения, получаем
дГ11 (6.128)
Предположим, что уравнения
^ \iViVi YZrgd3x = ViVi J р V^gd3x, (6.129)
С sl> Y^g d3x = 0. (6.130)
§ 7. Псевдотензор
217
где V1 означает 4-скорость центра масс, так что
dxi V1
ж=^ (б-131)
удовлетворяются настолько точно, что их можно использовать в (6.127).
Тогда в силу (6.124)
фтп = ^ ^ d3x, М1 = ф44. (6.132)
Если положить xi = t и задать а в (6.127) равным 4, то получится
тождество. В таком случае индекс а в (6.127) можно заменить индексом i. С
учетом (6.131) это дает
(vy^ + fimnvnyn=fimnvmvn=l ¦ (б-133)
На языке абсолютных производных это означает, что
