Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 108

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 211 >> Следующая

p2jrKQ.-Qq2= 1. (7.46)
Предположим, что Г -изотропная геодезическая (изотропная в V6 и,
следовательно, относительно индуцированной метрики также_и в V4). Тогда
Q Q = 0, р= 1, (7.47)
и параметрическое уравнение Г приобретает вид
х = P + pQ ( - со"7<со). (7.48)
Изотропные геодезические У4 фактически представляют собой прямые линии в
V6 (аналогично образующим однополостного гиперболоида).
Предположим теперь, что Г не изотропна. Мы можем нормировать Q так, чтобы
KQ.Q = co=±l (7.49)
и, следовательно, (7.46) перейдет в
р*+щ*=\. (7.50)
Самым существенным является знак ш. Если ш = 1, то параметр и можно
определить посредством соотношений
cos и - р, sinu = <7. (7.51)
Тогда (7.44) дает параметрическое уравнение Г в виде
x = Pcosu + Qsinu. (7.52)
Фактически это уравнение определяет окружность [в пространстве V6. при и
= п мы имеем х=- Р, при и = 2п получаем х=Р. Эти геодезические
оказываются замкнутыми кривыми. Все геодезические этого типа, исходящие
из Р, сходятся в антиполюсе -Р и затем снова в исходной точке Р. С другой
стороны, если ш = - 1, то можно положить
chи = р, shu = <7, (7.53)
и уравнение геодезической приобретает в этом случае вид
х = Pchu + Qshu (7.54)
и, таким образом, описывает гиперболу в пространстве Vb. Она
относится к незамкнутым кривым, так что две геодезические
этого типа, исхо-
дящие из Р, нигде больше не встречаются.
15*
228
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
Заметим, что
ГЯ>0и пространственноподобной Г"
ш=1 для -j - к (7.55)
L /С<0 и временноподобной Г; ш J дЛ"|К>0 и временноподобной Г, ^
^
1К<0 и пространственноподобной Г.
Сравнивая полученные результаты с результатами (7.16) - (7.19), мы
обнаруживаем, что между ними существует согласие. Но новые
результаты оказываются более сильными. При К < 0 временноподобные геоде-
зические не только встречаются, как это показано на фиг. 69, но они
являются замкнутыми кривыми, и мы должны перерисовать фиг. 69, как
показано на фиг. 70. На ней представлена ситуация, которую можно
охарактеризовать только как фантастическую. Мы видим, что пробная частица
снова и снова повторяет движение (свою историю) по той же самой
траектории! Это расходится с нашим основным представлением о причинности,
и мы делаем вывод, что пространство де Ситтера с отрицательной кривизной
К приводит к идеям, которые носят слишком уж "революционный характер" с
точки зрения физики, в том виде как она существует сегодня.
§ 2. Метрические формы в случае сферической симметрии
По выражению Вейля [1374], "симметрия, в каком бы широком или узком
смысле мы не понимали этого слова, есть та единственная идея, с помощью
которой человек испокон веков пытался постигнуть и воспроизвести порядок,
красоту и совершенство". Понятие симметрии укоренилось в нас настолько
сильно, что смысл этого слова трудно объяснить словами, которые выражали
бы нечто большее, чем само слово "симметрия". Мы непосредственно замечаем
симметрию, которой обладает, например, равносторонний треугольник,
квадрат или окружность. Но у интуиции есть свои пределы, и всякий раз
серьезное обсуждение симметрии приводит к теории групп. Однако здесь
существует опасность притупить в погоне за математическим формализмом
столь ценное интуитивное ' восприятие. Поэтому в соответствии с
геометрическим духом книги мы при обсуждении симметричных пространств -
времен будем стараться сохранить в некоторой степени интуитивный характер
элементарной геометрии.
Поясним с помощью вымышленного примера смысл слова эквивалентный, которым
нам будет удобно пользоваться в дальнейшем. Предположим, человек хочет
спрятать сундук с сокровищами и оставить указание в виде инструкции, по
которой этот клад в будущем можно было бы снова отыскать. В инструкции не
должно содержаться ничего, кроме данных геодезических измерений без
указания на видимые ориентиры. Если человек обитает на идеальной сфере,
ему не удастся дать сколь-нибудь удовлетворительных указаний, так как
любые две точки идеальной сферы эквивалентны. Если же он обитает на
эллипсоиде вращения, то лучший способ спрятать клад - это зарыть его на
одном из полюсов. Хотя оба полюса эквивалентны и, сле-
Ф и г. 70. Замкнутые временноподобные геодезические для пространства де
Ситтера, заключенного в пятимерное евклидово пространство, при К < 0.
§ 2. Метрические формы в случае сферической симметрии
229
довательно, его указания не могут определить место, где зарыт клад,
совершенно однозначно, все же лучше зарыть клад на полюсе, чем где-нибудь
еще, так как на параллели, соответствующей какой-то широте, все точки
эквивалентны. Если человек обитает на грушевидной планете, то на ней с
помощью геодезических измерений, выполненных в окрестностях полюсов,
каждый из полюсов может быть идентифицирован индивидуально, и человек
может спрятать свой клад на полюсе, имеющем меньшую (или большую)
гауссову кривизну.
Перейдем теперь к изучению симметричных пространств, вооружившись
понятиями эквивалентный и идентифицируемый и применяя их по ана-ло ии в
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed