Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точке (событию) соответствует набор четырех чисел х%. Можно было бы
построить теорию относительности, не обращаясь к языку геометрии,
поскольку можно рассматривать с чисто аналитической точки зрения и
оперировать только алгебраическими формулами. Метод этой книги иной. Наши
усилия были направлены на то, чтобы описать природу с помощью
геометрических картин в четырехмерном искривленном пространстве -
времени, и нет нужды оправдывать применение столь мощного способа
смотреть на вещи. Однако этот метод нравится далеко не всем. Существует
категория физиков, которые предпочитают, когда в этом возникает
необходимость, выяснять смысл своих формул не с помощью римановой
геометрии, а прибегая к обычным представлениям евклидовой геометрии в
указанном выше смысл.е. Именно к этому способу ориентироваться в формулах
они прибегают, когда язык этих формул становится слишком сложным.
Попытаемся же взглянуть на теорию относительности с евклидовой точки
зрения. При этом мы не будем иметь в виду ни в каком, самом косвенном
смысле, ничего, что предполагало бы евклидовость пространства - времени.
Евклидовы подмостки, которые мы построим, будут,, разумеется, нашей
собственной выделки и служить они будут лишь единственной цели - удобству
восприятия.
Пусть Е4 - некоторая область пространства - времени или, что также
возможно, все пространство - время. Пусть хг - какая-нибудь система
координат в Е4, такая, что имеет место взаимно однозначное соответствие
между точкой (событием) и соответствующим ей набором четырех чисел хх.
Пусть gij - набор (десяти) симметричных функций координат, имеющих,
непрерывные первые производные. Пусть, однако, эти функции подчиняются
некоторым алгебраическим условиям. Выберем три первые координаты хФ
пространственноподобными, а четвертую, х* - временноподобной. Это
означает, что мы накладываем на gi;- условия1)
ёч ^ ём. ^ 6, ёзз ^ 6" бм 6- (6.75)
Чтобы рассмотреть К4 с евклидовой точки зрения, построим четырехмерное
евклидово пространство с прямоугольными декартовыми координатами х1, так
чтобы каждая точка некоторой области этого пространства соответствовала
К4. Посмотрим, каким условиям (в терминах евклидовой геометрии) должны
удовлетворять gi;- для того, чтобы форма gudxldXj имела правильную
сигнатуру.
Возьмем какую-нибудь точку А с координатами х1 = а1 и запишем координаты
хг текущей точки Р в виде
*' = а4 + Х4 (6.76)
так, что X1 будут координатами точки Р относительно точки А. Изо-
!) В точке, в которой gij = 0 (i Ф j), автор для удобства сравнения с
евклидовым пространством берет сигнатуру метрики в виде (4- Ч-j )•- Прим.
ред.
§ 5. Пространство - время с евклидовой точки зрения
211
тропный конус в точке А будет касательным к конусу, определяемому
уравнением
gijXiXi = 0,
где берутся в точке А (фиг. 65). Пересечение костью X4 =. 1 определяет
поверхность второго порядка
gapX"Xp + 2ga4Xa + g44 = 0. (6.78)
Основное требование для формы ga dx1 dx' сводится, по существу, к тому,
чтобы уравнение (6.78) описывало вещественный эллипсоид. Если уравнение
(6.78) определяет эллипсоид, то он имеет единственный центр, скажем, в
точке Х"=К", где
gafi + = 0.
Следовательно,
det gaр ф 0.
Тогда можно определить с помощью соотношения
VapgaY = 6Y
(6.81)
Фиг. 65. Изотропный конус и его эллипсоидальное сечение, рассматриваемое
с евклидовой точки зрения.
(6.82)
(6.83)
и записать решение уравнения (6.79) в виде
Г* - -У*гм.
Полагая
Z" = X" - У(r),
запишем (6.78) в системе координат, начало которой совпадает с центром
эллипсоида:
gapZ"Zp = Y'Ipga4gp4-g44. (6.84)
Если (6.84) есть уравнение эллипсоида, то квадратичная форма в левой его
части должна быть определенной, а согласно (6.75), она должна быть
положительно определенной. Подведем итог: если gi4 < 0, то условие
(необходимое, а также и достаточное) того, что уравнение (6.78) описывает
вещественный эллипсоид, формулируется просто: форма
- положительно определена, (6.85)
или, что эквивалентно, все три корня уравнения
det (gap - 06ap) = 0 (6.86)
положительны. Заметим, что (6.85) при условии g44<0 равносильно
неравенству
ya(igaig -g44 >0.
(6.87)
Условие для вытекающее из выбранного нами характера сигнатуры, имеет вид
(6.85) при gi4 < 0.
Эти элементарные рассуждения изложены здесь столь подробно для того,
чтобы дать иллюстрацию взаимосвязей алгебры с евклидовыми
представлениями. Речь шла о римановом пространстве - времени, однако
вопросы инвариантности метрической формы относительно преобразования
координат общего вида мы совершенно обошли.
14*
212 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Когда мы мыслим пространство - время с евклидовой точки зрения, важное
значение приобретают "прямые линии", определяемые уравнениями
х1 = иа1 + Ь1, (6.88)
где и - параметр, а а1 и Ь1 - постоянные. Следует, однако, четко отличать
эти линии от геодезических, удовлетворяющих уравнениям
(i2x* | y,i dxl dx^ р. /с оп\
л?-+г*^Г-лГ = 0' <6-89)
