Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
второй подойдет название потока механического 4-импульса. Разность (02)
можно рассматривать как поток гравитационного 4-импульса - последний
существует в вакууме.
Выполним теперь аналогичное приближение для момента импульса.
Подынтегральное выражение в (6.57) имеет вид
{ёа'р §b'nQq ёа'р Пь' gqn §Ъ'р §а'п Пд -j-
+ ёЪ'Р Па' ёчп - ё"'Р &Ь'Ч) #Р,ПГ 6 {N) NT + 0% =
= ёа'р ёь'п Я, (Rpqnr + R^* + Rprqn) в (N) Nr +
+ (Па' ёь'р - Пу ga,p) eqnRPqnre (N) NT + Ov (6.64)
Здесь первый член в силу (1.120) обращается в нуль, и,
следовательно,
согласно (1.124), равенство (6.57) приобретает вид
На' Ь' = х-1 ^ (Па' ёь'р - Пй' ёа'р) GpTe (N) Nrd3v + Ог. (6.65)
V"
Пусть А."с) - ортонормированный 4-репер в точке Я', а А."С) -результат
параллельного переноса его вдоль геодезической Р'Р, так что
^•(с) ёа'р = ^(с) р> (6.66)
и~"пусть, как и в (2.150), квазидекартовы координаты точки Я'
относительно точки Я' имеют вид
Х(е)=-па-ь?). (6.67)
Тогда (6.65) приводит к следующим значениям для инвариантных компонент
На'Ь' в данном 4-репере:
Н( ci) = На'Ь' Ко) Ki) = -и-1 S (Х<е) *&> ~ X(i *?с)) Gpr 6 (N) Nrd3v +
Ot = I
V"
= 5 e (N) (X(c) Xfa - xw Л&) TprNTd3v + Ox. (6.68)
Vi
Сравнивая полученное выражение с (4.26) и (6.2), мы видим, что интеграл в
(6.68) представляет собой подходящее выражение для потока механического
момента импульса. Как и в случае 4-импульса, подчеркнем, что На'Ь'
представляет собой поток полного момента импульса, а разность Ог можно
рассматривать как поток гравитационного момента импульса.
Итак, приближениям уделено достаточно внимания. Вернемся теперь к точным
уравнениям (6.56) и (6.57). Каждое из них содержит интеграл по открытому
К3, причем оба подынтегральных выражения зависят от выбора базисной точки
Я'. Мы можем записать
Ма'= \Mra'B(N) Nrd3v,
Vs (6.69)
Ha'b'=\Hra'b'b(N)Nrd3V,
V"
§ 5. Пространство-время с евклидовой точки зрения
209
где
(6.70)
Последние величины представляют собой двухточечные тензоры с указанными
выше трансформационными свойствами относительно точек Р и Р'. Выражения
(6.70) не содержат величин, относящихся к V3, и их можно рассматривать
как локальные плотности 4-импульса и момента импульса, зависящие, однако,
от выбора базисной точки Р'. Выпишем по ходу дела следующие пределы
совпадения при Р'->Р:
Существенное свойство сохранения состоит в том, что интегралы по
замкнутому V3, как и в (6.53), равны нулю. Это свойство сохраняется и в
том случае, когда вместо одной базисной точки Р' берется набор таких
точек, а затем отдельные Ма> и отдельные Ма>Ь' складываются. Это наводит
на мысль о том, что можно было бы устранить зависимость от базисной точки
путем интегрирования по Р' во всем пространстве - времени. Но мы не можем
интегрировать ни векторы, ни тензоры, и лучшее, что можно сделать (не
вводя дополнительные соотношения), это записать интегралы
а интегрирование в каждом случае проводится по области пространства -
времени. Эти интегралы зависят лишь от замкнутого V2, фигурирующего в
(6.48) и (6.51), и от области Vt. Как уже отмечалось, устранить
зависимость этих интегралов от выбора замкнутого двумерного пространства
V2 можно, расширяя последнее до пространственной бесконечности. При этом
могли бы быть получены три абсолютных инварианта посредством деления
интегралов в (6.73) на 4-объем К4 (или на какую-либо степень этого 4-
объема) и перехода к пределу при К4, стремящемся охватить все
пространство - время. Однако без предварительного исследования вопроса о
сходимости в ряде специальных случаев результат такого расчета может
оказаться сомнительным, поэтому мы оставим этот вопрос.
Справедливость формул математического анализа является универсальной. Эти
формулы описывают подавляющую часть всех связей между числами. Однако
каждый математик время от времени обращается к геометрии, так как
развитая пространственная интуиция часто позволяет-нам осмысливать самые
запутанные вопросы, обходясь без сложных аналитических формул. Даже в
элементарной алгебре мы скорее понимаем классификацию корней квадратного
уравнения с помощью изображения параболической кривой.
14 Дж. Л. Синг
[лс]= [я;.Ь']=о,
(6.71)
Для слабого поля имеем
(6.72)
1
где "звездочка" означает дуальный тензор:
(6.73)
(6.74)
§5. Пространство - время, рассматриваемое с евклидовой точки зрения
210 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
При графическом изображении (в широком смысле) мы интуитивно исходим из
представления об евклидовом пространстве (обычно, двух или трех
измерений). Привлекая аналогии, наша интуиция углубляется (возможно с
несколько меньшей отчетливостью) даже в евклидовы пространства большего
числа измерений. Таким образом, какими бы ни были физические свойства
пространства (независимо от того, существует физическое пространство или
нет), понятие евклидова пространства остается одним из тех, с которыми мы
ни в коем случае не согласились бы расстаться.
В теории относительности мы имеем дело с точками (событиями)-, каждой
