Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
На'* = $ F% Rijkm dxkm, (6.51)
Vi
И, таким образом,
На'ъ' = 5 Flb. j nRijhm dxkmn. (6.52)
v3
Назовем На'ъ' потоком полного момента импульса через открытое трехмерное
пространство V3 относительно базисной точки Р'.
Какие бы названия мы не выбрали, важен лишь тот факт, что значения Ма> и
На'ь' не зависят от частного выбора открытого трехмерного пространства
У3, ограниченного каким-либо заданным замкнутым У2. Эквивалентным
"образом, можно утверждать, что для любого замкнутого V3
Afa. = 0, На.ь. = 0. (6.53)
Что касается базисной точки Р', то можно с уверенностью ожидать (исходя
из ньютоновской аналогии), что она (базисная точка Р') будет фигурировать
в определении момента импульса. Это может показаться неуместным в случае
4-импульса, но здесь следует помнить, что существование ньютоновского
трехмерного закона сохранения импульса тесно связано с тем
обстоятельством, что евклидово пространство допускает трансляции; для
риманова же пространства - времени это в общем случае не имеет места.
Может показаться, что введение в приведенные выше рассуждения замкнутого
У2 приводит к появлению посторонних свойств. Однако этим самым мы просто
откровенно признаем возможность появления расходимости в теориях,
построенных на основе законов сохранения. Можно было бы допустить, что У2
удаляется на пространственную бесконечность, и тогда, если тензор Римана
достаточно быстро стремится к нулю, интегралы (6.48) и (6.51) могут
сходиться к конечным пределам - следовательно, (6.49) и (6.52) будут
тогда представлять собой конечные интегралы, сохраняющиеся во всем
"пространстве".
Существует возможность использовать приведенные выше определения для
получения инвариантного определения траектории движения центра масс всей
материи во Вселенной. Эта возможность станет более реальной после того,
как будут приняты изложенные ниже приближения. Пока же заметим, что для
любого замкнутого У2 уравнения
На.ь.Мь' = 0 (6.54)
(число которых, если судить по виду, равно 4) связаны одним тождеством в
силу кососимметричности И. Следовательно, они образуют систему трех
уравнений для точки Р' и, таким образом, задают траекторию центра масс,
т. е. мировую линию1). Эта траектория зависит, вообще говоря, от выбора
V2, однако при выполнении упомянутых выше условий сходимости ее
определению можно придать абсолютный смысл.
Приведем теперь формулы (6.49) и (6.52) к другому виду, который,
разумеется, можно было установить с самого начала, если бы мы предпочли
использовать теорему Грина, а не теорему Стокса, как было сделано.
J) Соответствующее определение для плоского пространства - времени дано в
книге Синга ([1175], стр. 219).
§ 4. Интегральные законы сохранения, связанные с тензором Римана 207
Однако в этом случае сохранение было бы менее очевидным. Воспользуемся
формулой (1.249), которая дает
dxhmn = е (N) rihmnr NTd3v, (6.55)
где ^ - единичная нормаль к V3, a d3v - инвариантный элемент объема.
Тогда (6.49) имеет вид
Ма-= S 11ijM (Ц^а',)| " Rijhm 6 (N) r\hmnrNrd3V =
v3
= -*-1 5 (йрО"'")|" Rpqnrs (N)N4,v, (6.56>
vs
где R - дважды дуальный тензор [см. (1.115)]. Аналогичным образом,
на-ъ- = и-1 § (Q".pQb'Qe - Йь'РЙа'Й3 - QQa'p^b'g)|" Rpqnr е (N) N
,d3v. (6.57)
v3
Попытаемся теперь в некоторой степени обосновать названия, принятые нами
для М0' и На'Ь', проделав приближенные вычисления для случая слабого поля
(приближение, для которого тензор Римана мал). Как мы знаем, для такого
поля, согласно (2.95),'
Q*j = gij -f- Ох, Qij> = - giy -I- 01( (6.58)-
где ^/ - оператор параллельного переноса, а Ot означает малую величину
указанного порядка от тензора Римана. Все третьи производные O' .имеют
порядок Ог (см. гл. II, § 5). В формуле (6.56) Ма> также имеет порядок
Olt и мы получаем
Ма' = :1 5 ёт ёо'а RP(rnrb (N) NT d3V + Ог (6.59).
Уз
и, следовательно, согласно (1.124),
Ма' = - И-1 ^ ga'q G9T8 (N) NTd3V + 02. (6.60)
v3
Пусть Xa' - произвольный единичный вектор в точке Р', а ^" - результат
параллельного переноса вдоль геодезической Р'Р, так что
ba'?a'" = V (6.61).
Умножив (6.60) на Х°', получим
Ма' Ка' = - и-1 ^ \ Gqre (N) Nrd3v + 02 (6.62)
v3
или с помощью тензора энергии (вспомним, что Gу = - кТц)
Ма' la' = ^ е (N) TiT \Nr d3v + Ой. (6.63)
v3
Здесь мы сосредоточили основное внимание на главной части, записывающейся
в виде интеграла, но в гл. II мы уже излагали метод, позволяющий
провести расчеты и до порядка точности 02.
Вернувшись теперь к (4.26), мы опознаем интеграл, входящий
в (6.63): это поток 4-импульса, спроектированный на направление К9, через
конечную "площадку" V3. Этот интеграл не подчиняется закону сохранения.
Поскольку Ма> закону сохранения удовлетворяет, то остаточный член 0а
является существенным. Во избежание недоразумений
208 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
следует твердо различать истинные (точные) компоненты Ма' и интеграл в
(6.63). Если первую величину назвать потоком полного 4-импульса, то для
