Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Общая теория относительности " -> 106

Общая теория относительности - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Общая теория относительности — М.: ИЛ, 1963. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 211 >> Следующая

некоторым нашим, умственным потребностям, ибо бесконечность представляет
собой одно из тех понятий, которые нам трудно реально вообразить.
Чтобы исследовать пространство де Ситтера, возьмем некоторую точку Р' и
проведем через нее все геодезические (временноподобные,
пространственноподобные и изотропные (фиг. 67). Выберем на каждой
геодезической канонический параметр и, обращающийся в нуль в точке Р',
так что
Фиг. 67. Изучение про странства де Ситтера.
= 0,
dx*
du
(7.6}
Свяжем соответствием точки на двух соседних геодезических Г и Г', выбирая
их при равных значениях и. Тогда вектор геодезического отклонения т]1
удовлетворяет уравнению (1.131):
причем
С учетом (7.1) получаем
би2
^r + Rl.jkmU^kUm = 0, т]1 = 0 для и = 0.
- rfKUjU' - и1ки^=0.
(7.7)
(7.8}
(7.9)
Чтобы рассмотреть отклонения пространственноподобных или временноподобных
геодезических, выберем u = s. Тогда в силу (1.133) и (7.8) имеем
= Utf = 0, (7.10)
где е -индикатор Г. Уравнение (7.9) сводится к
ау
6 S2
е/Ст]1 = 0.
(7.11}
§ J. Пространство-время постоянной кривизны
223
Вводя произвольный вектор V, параллельно переносимый на Г, получаем
-^(ц%) + еКц% = 0. (7.12)
Решение этого элементарного уравнения можно написать сразу. Например,
если К > 0 и е = 1, то
т]1^г = A sm(s/C1/a), (7-13)
где А - постоянная. Полагая
= ^ (7-14)
и используя штрихи для величин, вычисленных в точке Р', соотношение
(7.13) можно записать с помощью оператора параллельного переноса в
следующем виде:
Tii = /T1V'b' sin (sKVt). (7.15)
Таким образом, если принять в учет все возможные случаи, геодезические
отклонения пространственноподобных и временноподобных геодезических имеют
следующие свойства:
Пространство - время положительной кривизны (К > 0):
пространственноподобные геодезические (е=1):
т]1' = KT4Wly sin (зКщ)\ (7.16)
временноподобные геодезические (е= - 1):
т,1 = K~lhg4i' sh (sK1/2). (7.17)
Пространство - время отрицательной кривизны (/С < 0):
пространственноподобные геодезические (е=1):
V = (-K)-lhg*tr sh [s (-K)ihV, (7.18)
временноподобные геодезические (е= - 1):
П* = (- К)_1/,Л sin [s (-К)у*]. (7.19)
Нам остается рассмотреть геодезическое отклонение в случае, когда одна
или обе из кривых Г и Г' изотропны. Беря сначала случай, когда обе кривые
изотропны, мы вместо (7.10) имеем
UjUi = 0, Utf = 0, (7.20)
так что уравнение (7.9) принимает вид
те?-о. Р-21>
а геодезическое отклонение задается формулой
4l = ug4i- (7.22)
Предположим теперь, что геодезическая Г изотропна, а Г' либо
пространственно-, либо временноподобна. Первое соотношение (7.20)
удовлетворяется, тогда как второе не имеет места. Умножая (7.9) на Uu
получаем
¦ш(Ч%) = 0 (7.2о)
и, следовательно,
цЮ-аи, a=g'Ui'. (7.24)
224
Г л. VII. Поля со сферической симметрией
Таким образом, (7.9) принимает вид
^-"1^0 = 0 (7.25)
и, следовательно,
^(4%) = uKaU%, (7.26)
где \ - вектор параллельного переноса. Правая часть постоянна, и для
геодезического отклонения получаем
Ч1 = ug4j' + ^u3KU%h'Uh'. (7.27)
В предыдущих вычислениях мы опирались на единственное предположение:
пространство-время имеет постоянную кривизну К- Это предположение не
определяет пространства - времени полностью, поскольку не затрагивает его
топологических свойств. Проиллюстрируем сказанное с помощью простой
аналогии. Тот факт, что двумерное пространство с положительно
определенной метрикой плоско, не означает, что оно представляет собой
плоскость: цилиндр имеет плоскую геометрию, существует также двумерное
пространство (произведение двух окружностей), имеющее топологию тора
(листа Мёбиуса). Тем не менее из формул (7.16) - (7.19) можно извлечь
некоторые интересные сведения.
Допустим, что К > 0. Тогда (7.16) означает, что две пересекающиеся
пространственноподобные геодезические, исходящие из некоторой точки Р',
снова встречаются (л1 = 0) в некоторой точке Р, где
s = nK~V *. (7.28)
Действительно, переходя от одной геодезической к другой, мы видим, что
все пространственноподобные геодезические, исходящие из Р', встречаются в
единственной точке Р (фиг. 68), причем длины их одинаковы и определяются
по (7.28).
Временно подобные геодезические
Ф и г. 68. Геодезические в пространстве де Ситтера с К > 0.
Если, достигнув точки Р, мы пройдем через нее, двигаясь дальше, то снова,
покрыв расстояние, определяемое формулой (7.28), вернемся в точку Р'.
Таким образом, все пространственноподобные геодезические оказываются
замкнутыми кривыми. Однако здесь могут быть два случая. В первом случае Р
и Р' представляют собой различные точки (представим себе полюсы земного
шара) и длина замкнутой геодезической равна 2лК1/2; такой случай называют
антиподным или сферическим. Во втором случае Р и Р' совпадают, так что
кривая Р'Р сама оказывается замкнутой геодезической длины яК.~1,г- Этот
случай называют полярным или эллиптиче-
§ 1. Пространство - время постоянной кривизны
225
ским. Что касается двух соседних временноподобных геодезических, то, как
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 211 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed