Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, поток одинаков для всех открытых трехмерных подпространств,
перекрывающихся на одном и том же замкнутом VQ но, вообще говоря, зависит
от выбора VQ При надлежащей осторожности можно расширить V2 до
бесконечности.
При рассмотрении интегральных законов сохранения можно привлечь
обобщенные теоремы Стокса, обсужденные в гл. I, § 10, вставая при этом на
несколько более общую точку зрения.
Пусть Vx - замкнутая кривая в пространстве - времени, a V2-покрывающее ее
открытое двумерное пространство. Пусть Fi - произвольное векторное поле.
В силу (1.244)
^Fidx^^FujdT". (6.5)
Vi v2
Тогда интеграл, стоящий справа, имеет одно и то же значение для всех
двумерных пространств, покрывающих Vlt и можно утверждать, что это
соотношение дает интегральный закон сохранения. Поскольку интеграл здесь
двойной, а не тройной, как в (6.4), то этот закон напоминает классический
закон Гаусса1) в электростатике.
Увеличим теперь число измерений, рассматривая замкнутое двумерное
пространство VQ покрытое открытым V. ~
зорное
Фиг. 60. Общая схема для закона сохранения.
3. Пусть Fit - произвольное тен-поле. Тогда в силу (1.245)
^FijdT1'^ ^Fiilkdxiik.
V2 V3
(6.6)
Ф'иг. 61. Закон сохранения в виде интеграла по открытой области.
Нет необходимости предполагать какие-либо специальные свойства симметрии
у тензора Fijt так как вклад в (6.6) дает лишь его кососимметрическая
часть. Ясно, что интеграл в первой части имеет одно и то же значение для
всех трехмерных пространств, покрывающих данное замкнутое VQ Та-
закон сохранения, в некоторой степени анало-
ким образом, мы имеем гичный (6.4). Однако здесь имеется существенная
разница: в (6.4) вектор F? не был произвольным [он удовлетворял условию
(6.3)1, тогда как в (6.6) тензор Fij произволен. Фактически соотношение
(6.6) можно рассматривать как "фабрику, производящую интегральные законы
сохранения": наша задача состоит лишь в том, чтобы выделить Fi-,
приводящие к законам, интересным с физической точки зрения.
г) Автор имеет в виду известную теорему Гаусса - Остроградского. - Прим.
ред.
200 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Фиг. 62. Сохранение области Т.
Иногда необходимо или желательно ограничить рассмотрение лишь частью
пространства - времени, например, Vt. При таком ограничении использование
(6.5) или (6.6) требует осторожности, так как покрытие Vj в первом случае
и У2 во втором могло бы вывести нас за пределы У4.
В качестве иллюстрации рассмотрим фиг. 62, на которой изображена трубка Т
в пространстве - времени, внутрь которой проникать запрещено. Мы не можем
покрыть замкнутое двумерное пространство V', не проникая внутрь Т, и,
следовательно, не можем к V' применить формулу (6.6). Однако замкнутое
У2, образованное из У2 и V", можно покрыть открытым У3, не входя в
Г, и закон
сохранения типа (6.6) существует.
Следует отметить, что наша пространственная интуиция простирается лишь на
три измерения, и хотя диаграммы вроде фиг. 62, изображающие пространство
- время так, как если бы оно было трехмерным, полезны, все же обращение с
ними требует известной осторожности. Во всех сомнительных случаях
следует обращаться к формулам. Пусть (х, у,
2, t) - координаты, меняющиеся в интервале (-со, +оо) в пространстве -
времени. Тогда неравенство
x2 + y2 + z2<a2
описывает область Т в пространстве - времени, а замкнутые двумерные
пространства V', V" определяются соотношениями
V't: x2 + y2 + z2 = b2, t=0,
V': х2 + у2 + z2=c2, t=0.
Здесь а, Ь и с -постоянные. Если а<Ь<с, то ситуация как раз совпадает с
представленной на фиг. 62. Формула
x2 + y2 + z2<b2, t = 0
определяет открытое подпространство У3, покрывающее подпространство V',
но пересекающее четырехмерную область Т. Формула
fca< х2 + у2 + г2< с2, i=0
определяет открытое подпространство Vs, которое покрывает У2,
образованное двумерными подпространствами V' и V", не пересекая Т. Другое
Vs, пересекающее область Т, определяется соотношениями
t - (х2 + у2 + г2 - Ь2) (с2 - x2 - y2 - z2), t> 0.
§ 2. Интегральные законы сохранения, связанные с тензором Эйнштейна
Как и в случае (4.111), мы записываем уравнения поля в виде
Gtj = - хТ^, х = 8я. (6.7)
Левая часть здесь носит геометрический характер, тогда как правая часть -
механический. Поскольку эти части связаны знаком равенства, то
оказывается, что с математической точки зрения безразлично, какой частью
оперировать. Однако с психологической точки зрения здесь различие весьма
существенно; дело в том, что, к счастью, геометрия свободна от семанти-
§ 2. Законы сохранения, связанные с тензором Эйнштейна
201
ческой путаницы, и пока мы мыслим геометрически, нам незачем касаться
таких метафизических вопросов, как, например, смысла слова энергия.
Поэтому ради сохранения умственного равновесия мы будем, работать с Gi;.,
получая при этом результаты, которые геометрически будут правильными;
физические выводы будут в этом случае вытекать из связи между Gij и Tijt
определяемой уравнением (6.7).
