Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
- aT7l - • tiv*
vir=vv- <6-134)
Умножая (6.134) на Vit получаем 6У4/6/ = 0, и, следовательно,
АТ/ i
^ = 0. (6.135)
Это означает, что при сделанных предположениях мировая линия центра масс
является геодезической.
Трудно судить, насколько существенными окажутся полученные здесь выводы.
Мы знаем, что, положив Sij = 0, получим невзаимодействующую среду, для
которой мировые линии представляют собой геодезические (см. гл. IV, § 4).
Условие (6.130) оказывается несколько более слабым. Однако предположения
(6.129) и (6.130) кажутся слишком эмпирическими, чтобы рассматривать
приведенный анализ как доказательство того, что мировая линия малого
изолированного тела является геодезической1).
§ 7. Псевдотензор
Пусть в пространстве - времени, рассматриваемом с евклидовой
точки зрения (как в § 5), задан набор симметричных величин Wlh
(=1УЙ1),
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям в частных производных:
№% = 0. (6.136)
При желании можно полностью отвлечься от преобразования координат,
приняв, что (6.136) выполняется в некоторой заданной системе координат
Xх, и работая только с этими координатами. Однако в теории
псевдотензора2), которую мы собираемся развить в данном параграфе, закон
преобразования Wlk таков, что уравнение (6.136) имеет место для любых
координат, несмотря на то, что Wlk не является тензором3), так же как
Wlhb не является вектором в тензорном смысле.
') Изложить этот вопрос в духе работ Инфельда и Шилда [489], Папапетроу
[857], Коринальдези и Папапетроу [170] мне представляется
затруднительным.
2) Псёвдотензор был введен Эйнштейном [259] (см. Бергман [38], Мёллер
[767]). Мы следуем здесь другому пути, предложенному Ландау'и Лифшицем
([612], стр. 351). Как и следует из названия, псевдотензор не является
тензором, и полученные с ним законы сохранения носят нетензорный
характер.
3) Величину точнее было бы назвать объектом.- Прим. ред.
218 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения движения
Интегрируя (6.136) по конечному трехмерному пространству х* - = const,
получаем
^ = О, d3x = dx1dx2dx3. (6.137)
В предположении, что на пространственной бесконечности компоненты Wth,
отвечающие значениям k=\, 2, 3, достаточно быстро стремятся к нулю,
получим из (6.137)
jL-^W"d3x = 0, (6.138)
так что, рассматривая все сечения х4 = const, мы имеем
^ Wiid?x = 7iMi, (6.139)
где Л4* - четыре постоянных, не зависящих от х4. Константа х( = 8я)
введена лишь с целью упрощения последующих формул.
До сих пор мы не учитывали симметрию Wtk. Ее свойства таковы,
что
{х'Ф1к-х>ЧР1к)'к = 0, (6.140)
и рассуждения, аналогичные вышеизложенным, приводят к соотношению
J (6.141)
где Hij (= шесть постоянных, не зависящих от х*.
Теперь следует так выбрать Wik, чтобы (6.139) и (6.141) можно было
использовать как "законы сохранения", -(6.139) для 4-импульса, а (6.141)
для момента импульса. Чтобы произвести этот выбор, воспользуемся
следующим математическим тождествомх):
gGik= -±t;^ + Vih. (6.142)
Здесь Gih - ковариантная форма тензора Эйнштейна, а
итт = g {gikgim _ gimgih)' {6 143)
Что касается Vlh, то его выражение, оказываясь весьма сложным, зависит,
однако, лишь от метрического тензора и его первых производных. Мы
вычислим его позже, а сначала выясним, как нужно пользоваться формулой
(6.142).
Мы видим, что Utihm имеет такие же свойства симметрии, что и тензор
Римана Rtihm. Отсюда легко усмотреть, что Vth симметричен и, кроме того,
что
= 0. (6.144)
Последнее соотношение играет существенную роль. В силу (6.144) тензор
Wlh, определяемый формулой
Wih = + , (6.145)
оказывается не только симметричным, но и удовлетворяет уравнениям
(6.136), а следовательно, и (6.139) и (6.141) (при условии, что
необходимые условия на бесконечности выполняются, а мы предполагаем, что
г) Это тождество можно рассматривать как определение Vift.
§ 7. Псевдотензор
219
это так). Учитывая уравнения поля
Gife=-хГ*\ х = 8л, (6.146)
определим псевдотензор энергии tih как
tlh = x-1g~1Vih, (6.147)
так что (6.145) можно записать в виде
Wih = xg(Tih + tih).- (6.148)
Из (6.139) и (6.141) теперь следует, что
J g[(Ti4 + ti4)d3x = M\ (6.149)
J g [xl (T>4 + //") - xj (T14 + Г4)] d3x = Hij, (6.150)
где ЛГ и Hi3 - постоянные, не зависящие от х4. Вид этих уравнений
говорит, что их. следует рассматривать как уравнения сохранения 4-
импульса ЛГ и момента импульса Н13. При определенных условиях на
бесконечности, в конкретное описание которых мы не станем слишком
детально углубляться, эти уравнения математически корректны. Однако
придать им физическую интерпретацию представляется несколько
затруднительным, так как, хотя (6.149) и (6.150) и справедливы в любой
выбранной системе координат, постоянные ЛГ и Н13 при переходе от одной
системы координат к другой изменяются далеко не простым образом. Сечение
х4 -const, используемое при интегрировании, зависит, разумеется, от
выбора координат.
Нам остается вычислить входящий в (6.142) тензор Vth. Воспользуемся для
