Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
этого следующими тождествами [см. (1.88) и (1.105)]:
ГоЬ, с - Гас, ь = R. асЬ Г?(,ГрС Г?сГрь,
(Ь. 151)
рР ГР _____ П рР рч _1_ рР р9 ' 7
1 pb, а " А аЬ, р - *\аЬ 1 аЗА Ьр "Г А аЬА рд-
Из (6.143) получаем
(g-4Jiihm) |р = 0 (6.152)
и, следовательно, с учетом (1.8)
U11*? = 2TapUl'hm - Г1ари^кт - TjapUiahm - T*pUiiam - T(tm)Uiiha. (6.153)
Полагая р = j и учитывая симметрию Uiihm, получаем
ul,f=TajUilhm - rkajui,'am - r(tm)uiiha.
После дифференцирования имеем
U'ikfm = Aih + Bih,
где
Лхк tjijkm pb tiijam р"" flijka
- 1 а;, - 1 а/, m'-' J aj,m ,
Bik = raajulikZ - rha,uli(tm) -
Заметим, что в содержатся вторые производные gijt тогда как в Blh они
отсутствуют. Мы можем записать
Aik = fjijkm (рР. ^ _ рР j +| цЦат ^р^ a _ р^ ^ (6Л 57)
(6.154)
(6.155)
(6.156)
220 Гл. VI. Интегральные законы сохранения и уравнения
движения
и, следовательно, в силу (6.151)
Aik = u^mRjm +1UiiamRkjam + Uiihm (Г^Г"9 - Г&9Г&,) +
t 1 гjijam /тлр pfe рр pfe ч
\~2и V1 jaA pm * jm1 pa) •
Однако
uiihmRjm = s (gym-gimgih) Rjm = g (gihR - Rih),
UijamRkjam = g (giag'm - gimgia) Rhjam = - 2gRih и, таким образом,
(6.155) можно записать в виде
Uiikfm=-2gGih + 2Vik,
где
2Vik = Uiihm (Г^Г^ - Г2Л) + UiiamTlTlm + Bih.
Ясно, что Vlk не зависит от вторых производных gi;-. Чтобы довести
вычисления до конца, подсчитаем с помощью (6.153) и (6.154) производные,
входящие в Blk. Мы получим
2Vik = Vi"MDab + uiabl--Ekabc + икаЪсЕ1.аЬс + и^ПаГЪ,
А,ь = ВДь+ВДь-2ВД9, (6.162)
pk рР рР pk
Е* • abc - - А а5А рс * аЪ А рс"
(6.158)
(6.159)
(6.160) (6.161)
Глава VII ПОЛЯ со СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
§ 1. Пространство-время постоянной кривизны
(пространство де Ситтера)
Самое простое из всех римановых пространств - плоское пространство -
время Минковского. Оно соответствует физически полному отсутствию
гравитационных полей и именно в нем строится специальная теория
относительности. В общей теории относительности плоское пространство -
время нас будет мало интересовать. Мы будем касаться этого понятия лишь в
связи с вопросом об условиях на бесконечности (можно предположить, что на
бесконечности гравитационное поле стремится к нулю1)) и в связи с
обсуждением плоских гравитационных волн в гл. IX (пространство - время
плоско вне волны).
Следующим по степени простоты оказывается пространство - время постоянной
кривизны. Если обозначить через К постоянную кривизну, то, согласно
(1.101), имеем
Rijkm =*К (gikgjm §imgjh)>
Ru=-3Kgt}, (7.1)
R= - 12/С,
Ga = 2>Kgij.
С помощью уравнений поля (4.108), содержащих космологическую постоянную,
получим
Gij - Agij=-xTij, х = 8я; (7.2)
следовательно, тензор энергии в пространстве - времени постоянной
кривизны К имеет вид
Tij = xl(A-3K)gij. (7.3)
Все четыре собственных значения этого тензора равны друг другу, а его
собственные векторы являются полностью неопределенными. Это не
соответствует никакому реальному виду материи. Найти выход из создавшейся
неудовлетворительной ситуации можно, лишь предположив, что
космологическая постоянная А и постоянная кривизна К связаны
соотношением2)
__________________________________ А = 3/С- (7.4)
х) Можно строго доказать, что существуют целые классы пространств,
удовлетворяющих уравнениям поля Эйнштейна, которые нигде не могут
стремиться к плоской метрике Минковского (см. Петров, [903], § 53).-
Прим. ред.
2) Обычно принято считать космологическую постоянную положительной.
Следовательно, К также положительна. Однако идея пространства - времени
постоянной кривизны и того, и другого знака весьма заманчива и
заслуживает внимания исследователей. Для простоты мы будем говорить о
пространстве де Ситтера, независимо от знака К- Позднее мы убедимся, что
отрицательный знак К приводит к настолько странным следствиям, что вряд
ли можно принять пространство такого типа в качестве физической модели.
222
Гл. VII. Поля со сферической симметрией
В этом пространстве тензор Ti} равен нулю, и мы получаем пустое
пространство де Ситтера [1112], удовлетворяющее уравнениям поля
С"-Л?г3- = 0. (7.5}
Трудно определить степень серьезности, с которой физик должен мыслить
пустое пространство де Ситтера физически. Исключив материю, мы по
существу возвращаемся в пространство без гравитации, где вместо геометрии
Минковского справедлива геометрия пространства - времени постоянной
кривизны. Успех специальной теории относительности (плоское пространство
- время) в описании явлений, не связанных с гравитацией, наводит
на мысль о том, что если и следует оперировать в простран-
стве де Ситтера, то его кривизна, безусловно, должна быть очень малой
по сравнению с существенными физическими величинами той же размерности
(/( измеряется в сек'2). Без достаточных оснований никого не привлечет
мысль осложнять простоту геометрии Минковского посредством введения
кривизны.
Тем не менее вселенная де Ситтера интересна сама по себе. Она
открывает новые возможности, приводя к идее о том, что про-
странство может быть конечным. Оказывается, что это удовлетворяет
