Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, как второй вывод из уравнения (90.17), что если С проведен на
поверхности энергии ?2 = 0 (или, более общий случай, на й = const), то 6
?2 = 0, и отсюда d%{C) = 0. Нет необходимости полагать dw постоянным, а
поэтому циркуляция действия имеет общее значение для всех контуров
(приводимых и неприводимых), проведенных на поверхности энергии, которая
может быть деформирована в другую смещением вдоль естественной
конгруэнции.
В обозначениях (q, t, р, Н) циркуляция по любому контуру есть
х (С) = ^ уТ ЬхТ = ф (рр 6<7р - Н Ы). (90.19)
с с
Для контура на поверхности энергии Н задана как функция переменных (q, t,
р).
Так как имеет место условие
^ ут 8хт = - ф хт Ьут, (90.20)
с с
то этот же результат справедлив для циркуляции, определенной как
& &Ут = (? (ЯР Spp - t бН). (90.21)
с i
Циркуляция действия есть пример относительного интегрального инварианта.
Интегральные инварианты определяются следующим образом.
Пусть Sm - некоторое ТИ-мерное подпространство QTPH или может быть само
QTPH, так что l<Af< < 2N + 2. Проведем через Sm естественную конгруэнцию
и получим из Sm систему подпространств Sm (w), откладывая вдоль лучей или
траекторий одни и те же зна-
§ 91] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНГРУЭНЦИИ 313
чения w, начиная с го = 0 на Sm', таким образом, Sm = Sm (0). Если какой-
либо интеграл, взятый по Sm, остается неизменным при такой операции, т.
е. если / для Sm (го) не зависит от w, то / называют интегральным
инвариантом, абсолютным, если Sm - открытое пространство, и
относительным, если оно замкнутое (как для контура С, например).
Интегральные инварианты в пространстве QP будут обсуждены в § 98.
§ 91. Преобразование естественной конгруэнции к прямым линиям с помощью
решения уравнения Гамильтона - Якоби. В § 90 мы исследовали две различные
точки зрения на преобразование. Примем здесь второй взгляд: рассмотрим
евклидово пространство E2N +2,
в котором имеются неподвижные оси координат, а преобразование (х, у) ->
(х', у') означает перемещение точек этого пространства в новые положения.
Для того чтобы обойти трудный вопрос о топологии пространства QTPH, будем
рассматривать только малые области пространства QTPH, топология которых
совпадает с топологией евклидова пространства.
С этой точки зрения естественная конгруэнция лучей или траекторий,
удовлетворяющих каноническим уравнениям
является системой кривых в пространстве E2N + 2. Каноническое
преобразование изменяет эти кривые. Будем искать КП (х, у)-> (х', у'),
которое переводит естественную конгруэнцию в конгруэнцию параллельных
прямых.
Пусть G (х, у') - какое-нибудь решение дифференциального уравнения в
частных производных,
dxr д Q dyT . д Q
(91.1)
dw дуТ ' dw дхГ '
(91.2)
314 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. "V
рассматриваемого в области (2N + 2) независимых переменных (х, у'); это
решение таково, что
det д G ф 0. (91.3)
дхт dys
Тогда, как и в случае (88.20с), уравнения
/па /\
Ут = -- . хт= -- (91-4)
дхт дут
определяют КП (х, у)-*(х', у'). Для функции энергии, всегда
рассматриваемой как инвариант в смысле тензорного исчисления, имеем
й' (х'> У') = й (х, у) = & = y'N+1. (91.5)
Следовательно, новые уравнения естественной конгру-
энции имеют вид
dxр _ 3Q' _ q dx'N+1 _ 3Q _ ^ 1
di/p '
dy'p _ 3Q' _ n _ dQ'
= _Ч^_ = 0, 2^±2=_Л^_ = 0,
dw dx'p dw 3x'N+1
а интегрирование их дает
?p - dp,
?/p " У 2V+1 ~
(91.6)
(91.7)
где ap, Ър и /с - постоянные в количестве (2N + 1), значения которых
зависят от рассматриваемого луча или траектории. Заметим, что специальный
параметр w равен координате х'^+а, а тривиальная постоянная
интегрирования опущена. Так как при произвольных значениях постоянных
система (91.7) представляет собой конгруэнцию прямых линий, параллельных
оси x'N +1, то мы и пришли к преобразованию естественной конгруэнции в
конгруэнцию параллельных прямых. Поверхность энергии Q = 0 преобразуется
при этом в плоскость y'N +i.
§ 91] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНГРУЭНЦИИ 315
Рассматривая пространство QTPH вместо QT, мы можем представить теорию §
77 в более общем виде. В самом деле, дифференциальное уравнение в частных
производных (91.2) является уравнением Гамильтона - Якоби в общей форме.
Для того чтобы установить эту связь, перейдем к обозначениям (q, t, р,
Я), полагая, что функция энергии имеет форму
й (я> У) = yN+1 + Ш (хи ..., xN+i, у 1, yN). (91.8) Тогда согласно (86.1)
уравнение (91.2) примет вид
= (91'9)
где Я написан как функциональный символ вместо со; мы хотим найти решение
G (q, t, р', Я') такое, чтобы выполнялось условие
Ф 0. (91.Ю)
Можно считать (91.9) дифференциальным уравнением в частных производных с
независимыми переменными (q, t), а величины (р', Я') рассматривать как
постоянные. Первый шаг в интегрировании состоит в том, чтобы положить
G=-H'+U(q, I). (91.11)
Тогда функция U должна удовлетворять уравнению
<9i-i2>
которое действительно является уравнением Гамильтона - Якоби (77.3). Для
того чтобы выполнить преобразование (91.4), нужно найти полный интеграл
