Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
что
F (х, у) = Xiу2 - x2yi = у[ (92.43)
является постоянной движения. Согласно (92.13) мы должны решить
дифференциальное уравнение в частных производных
xi~~x2~=y[. (92.44)
UX2 дх\
Легко проверить, что G (х, у') есть решение:
G (х1 У') = У1 Уз (*i + xl) + arctg - I +
L
+ ХзУз + ... + arjv+iyjf+i. (92.45)
*) Об уменьшении числа уравнений в проблеме трех тел с 18 до 6 см.
Уиттекер [28], стр. 371-388.
21*
324 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [гл. V
G (х, у') удовлетворяет детерминанта ому условию (92.14) и дает КП
9G , , у[х2
г/1 = - = 2У1У01 - { -2 ,
ОХ 1 Xi + х2
9G п г г y[Xi
г/г --- - 2yiy2x2 j-;-г *
иХ2 Xi "j- Х2
dG
Уз --- - г/з> дха
8G , . 2 | 2\ , . Х2
Xi - -7 = у2 (*! + х2) + arctg - ,
ду 1
r 9G , . 2 . 2\
Х2 -¦ : I/i (xi + х2),
ду2
dG
хз - -- - *3,J
ду3
Xi
(92.46)
Переменная х[ не входит в новую функцию энергии, Производящую функцию
(92.45) легко получить, используя полярные координаты xi = г cos ft, х2 =
г sin ft.
ГЛАВА VI ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (QTP)
§ 93. Теорема циркуляции. В (2N + 1)-мерном пространстве состояний QTP
координатами1) изображающей точки являются др, t, рр. Гамильтонова
функция Н здесь не координата, а функция положения в пространстве QTP:
Н = Н(д, t, р). (93.1)
Канонические уравнения движения здесь следующие:
. ОН . _ дН Q" .
Яр - - > Рр ~ • (93.2)
дрр dqp
Напишем их в форме
dqi _ _ dqN _ dpi _ _ dpN _ dt
~дН ~ ~ffl дН ~ ~ дЩ
dpi dpN dqn dqN
(93.3)
чтобы сделать все координаты равноправными; тогда эти уравнения
представляют естественную конгруэнцию траекторий в QTP, причем через
каждую точку пространства проходит одна кривая. Отметим, что уравнения
(93.2) заключают в себе уравнение
- = - (93.4)
dt dt
:) Мы будем вести рассмотрение только в малых областях и обойдемся без
перекрывающихся координатных систем (§ 63). Обозначения см. § 62,
326
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (QTP) [ГЛ. VI
Для того чтобы обсудить циркуляцию в QTP независимо от теории, изложенной
в § 90 для QTPH, определяем циркуляцию по любому контуру С следующим
образом:
х(С) = ф(ррвдр-ЯвО. (93.5)
с
Придавая контуру С произвольное бесконечно малое смещение d (не
обязательно вдоль естественной конгруэнции) и интегрируя варьированное
выражение по частям, получаем
dy, (С) = ^ (dpp 6<7Р - dqp dpp - dH бt + dt бH) =
§ К
dpp + ^ А) + брр (- dqp + дг^~ <й] + dqp 1 \ дрр !
+ 6f ( - dH + - dt dt
(93.6)
Если теперь перемещение d происходит вдоль естественной конгруэнции, то
из (93.3) и (93.4) следует, что
dy (С) = 0. (93.7)
С другой стороны, если dx (С) = 0 для произвольного С и для перемещения
d, взятого вдоль некоторой конгруэнции, то эта конгруэнция должна
удовлетворять уравнениям (93.3) и (93.4) и, следовательно, это -
естественная конгруэнция. В самом деле, условие циркуляции
(93.7) эквивалентно каноническим уравнениям (93.2).
§ 94. Преобразование координат в QTP. Форма Пфаффа. Произведем общее
преобразование
(q, t, р) -> (х), (94.1)
где (х) означает совокупность 2N + 1 переменных. Будем обозначать эти
переменные через хА, где индексы А принимают значения
1,2,..., 2N + 1, и условимся сумми-
ровать по повторяющимся индексам. Тем самым мы.приписываем точкам
пространства QTP совершенно произвольные координаты.
94] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В QTP 327
При преобразовании (94.1) получаем
Ррб^р - Н (q, t, р) bt = XAbxA, (94.2)
где X - функция переменных хА. Циркуляция по кон-туру С равна теперь
х (С) = $> ХА ЬхА, (94.3)
с
и если придать С произвольное смещение d, то получим
du (С) = (dXA bxA - dxA ЬХА); (94.4)
с
преобразуем это выражение, обозначив дХА/дхв = ХА, в,
dy
(С) = ^ XAi в (dxB 6хА - dxA Ьхв) =
с
- ^ ^л• в - ^в' л^ ^Хв ^Хл'
с
Если dxA - перемещение вдоль естественной конгруэнции, то dy (С) = 0 для
произвольного контура С (ср. с § 93); поэтому траектории должны
удовлетворять уравнениям
(ХА<В-XB,A)dxB = 0. (94.6)
Это есть форма, которую принимают канонические уравнения, если
используется общая координатная система в пространстве QTP.
Этот важный результат можно рассмотреть несколько иначе; dxA - компоненты
контравариантного вектора относительно произвольных преобразований (можно
писать dxA, чтобы подчеркнуть этот факт); ХА>В - ХВ>А - компоненты
кососимметричного тензора; поэтому уравнения (94.6) представляют собой
векторные уравнения, справедливые при любом выборе координат, если они
справедливы для одной системы координат1). Однако если
г) Интересно сравнить уравнение (94.6) с уравнением (73.5), в котором
полная размерность та же, но детерминант из коэффициентов обращается в
нуль согласно (73.1).
328
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (QTP)
[ГЛ. VI
координаты хА выбраны следующим образом:
xi = qu ^ N + 1 = Р li
x2N + i = ti
то, принимая во внимание тождество (94.2), мы видим, что имеют место
равенства
Подставляя эти выражения в (91.6), получаем канонические уравнения
(93.2), поэтому (94.6) представляют траектории во всех системах
координат, так как это - уравнения траекторий в системе координат (94.7).
