Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В уравнениях (94.6) мы имеем 2N + 1 однородных уравнений для 2N + 1
дифференциала; мы знаем (совершенно независимо, от предыдущего
доказательства), что они совместны, так как матрица коэффициентов, будучи
кососимметричной и нечетного порядка, имеет самое большее ранг 2N
(другими словами, ее детерминант обращается в нуль). Имеем тогда новый
подход к динамике в пространстве QTP, основанный на форме Пфаффа1)
1) Теорию форм Пфаффа см. D а г Ь о u х G., Le РгоЫёте de Pfaff (Paris,
Gauthier-Villars, 1882); К a p т а н Э., Интегральные инварианты, Москва,
1940; Goursat Е., Lefons sur le proble-me de Pfaff (Paris, Hermann,
1922), а также очень общее исследование Schouten J.A. and v. d. К u 1 k
W., Pfaff's Problem and its Generalizations (Oxford, Clarendon Press,
1949); см. также Уиттекер [28], стр. 327-328. Внешнее умножение и внешнее
дифференцирование Картана (цит. выше, гл. 6, 7) приводит к Весьма сжатым
обозначениям, но, как всегда, когда к динамике применяются краткие
обозначения, необходима большая практика, чтобы применять их с
уверенностью. О приложении этих обозначений к механике см. К а р т а н
(цит. соч.); Dedecker Р., Sur le theoreme de la circulation de V.
Bjerkness et la theorie des invariants integraux, Inst. Roy. Meteorol.
Belg. Misc., N 36, 1951; Gallisot F., Les formes exterieures en mecanique
(Chartres: Durand, 1954 - These, Paris, отдельное издание, а также в томе
4 Ann. Inst. Fourier). См. также: С a r t a n E., Les systemes diffe-
(94.8)
Xа >
(94.9)
§ 94]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В QTP
329
здесь ХА - функции переменных хА. Любой такой пфаф-фиан определяет
траектории посредством уравнений
(94.6). Это - инвариантный метод, не зависящий от какого бы то ни было
частного выбора координат хА.
Если имеем две формы Пфаффа,
ХА ЬхА и XAbxA +^-^-ЬхА, (94.10)
дхл
где G - функция положения в пространстве QTP, то система (94.6)
определяет одни и те же траектории для этих двух форм. Другими словами,
траектории не изменяются, если к форме Пфаффа прибавить полный
дифференциал.
Пусть (q, t, р) - канонические переменные в пространстве QTP, так что
траектории удовлетворяют уравнениям
dqp^dHi^ = (9411)
dt дрр dt dqp
Ассоциированная форма Пфаффа имеет вид
Pp^Qp - H(q, t, p)6t. (94.12)
Применим преобразование (q, t, p)->(q', t', p'). В преобразованном
пфаффиане появятся члены, выраженные через bqp, брр, бt', и коэффициент
при 6q'p, вообще говоря, не будет совпадать с р'р. Но предположим, что
преобразование таково, что в преобразованном пфаффиане можно выделить
полный дифференциал, оставив пфаффиан, не содержащий дифференциала 6р'р.
с коэффициентом при bqp, равным р'р. Коэффициент при бt' будет
функцией переменных (q1, t',p'); обозначая его через -
Н' (q', t',p'),
получим
Ppbqp - Н (q, t, р) бt = p'pbq'p - Н' (q', t', p') 61' + 6G;
(94.13)
rentielles exterieures et leurs applications geometriques (Paris,
Hermann, 1945); de Donder Th., Theorie des invariants integraux (Paris,
Gauthier-Villars, 1927); Slebodzinski W., Formes exterieures et leurs
applications (Warszawa: Panstwowe Wydaw-nictwo Naukowe, 1954).
330
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (QTP) [ГЛ. VI
6G - полный дифференциал, и канонические уравнения (94.11) преобразуются
в следующие1):
dg'р = д!Г dp'L _ дН'
dt' др^ ' dt' dq'p
§ 95. Канонические преобразования в QTP. Если мы хотим произвести в
пространстве QTP преобразования координат, сохраняющие форму уравнений
движения, то лучше всего свести все рассмотрение к форме Пфаффа
(94.12); канонические уравнения, исследованные в § 87, могут быть
применены в пространстве четного числа измерений. Таким пространством
является фазовое пространство QP. Поэтому мы возвратимся к каноническим
преобразованиям координат при исследовании QP в гл. Д VII. Однако прежде
чем перейти к рассмотрению фазового пространства, покажем, как движение
системы, представленное в пространстве QTP, может быть исследовано с
помощью канонических преобразований между двумя поверхностями, на каждой
из которых t = const; эти поверхности, будучи четной размерности,
преобразуются одна в другую каноническим преобразованием.
Вернемся к двухточечной характеристической функции S (х*, х) § 72,
которую запишем теперь в форме
S = S (g*, t*, q, t). (95.1)
Рассмотрим две поверхности 2*, 2 в пространстве QTP с t = const на каждой
из них. Естественная конгруэнция устанавливает соответствие 2*"->-2 между
точками этих двух поверхностей; пусть Е* и Е - точки пересечения
поверхностей с одной из траекторий, как показано на рис. 44. Его нельзя
смешивать с рис. 35 § 75, который показывает совокупность траекторий в (N
+ 1)-мерном пространстве QT, образующих когерентную систему (оо^
множество кривых). На рис. 44 показаны изображающие кривые, взятые из
конгруэнции всех траекторий (оо2ЛГ множество кривых).
(94.14)
*) О связи этих уравнений с каноническими преобразованиями в пространстве
QP см. § 97.
§ 95] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В QTP 331
