Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
qP =----------, t = -
Pp =
dp p dGi dq'p
dH
jy _ dGj
dt'
(88.25a)
Следующие КП оставляют неизменным время:
300 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
G4 (р, II, q, t') = - Ht' + g(p, q, t')\ Л
n - dg t -t' n' - dg H' ____ H dg \
Яр - ~ > t - t , p p - -- , 11 - H - . j
dp0 dqp d J
(88.26d)
Следующие КП оставляют неизменным гамильтониан:
G3 (q, t, p', II') = -tH' + g (q, p'): ^
(88.27c)
r, - dg и - Tf' n' - dg t' - f - dg
pp - , H - H , qp - , t - t --
dp p dp p dll
Gi (p, H, q, t') = - Ht' + g (p, H, q')\
a - 9g t-1' - 9g - 9g H' - 4
qp - - , TJ i Pp - ~г > ¦
dp p dH dqp
(88.27d)
Следующие КП оставляют неизменными и время, и гамильтониан:
G3 {q, t, р', II') = - tH' + g (q, p')\ 'j
Pp=P-, H = H\ q'P = Pr, t'=f, [ (88.28c)
oQp opp J
G4 (p, H, q , t') = - Ht' + g (p, q'y. ^
qP=^~, t = t', р'Р=Цг> H' = H. (88.28d) dpp dqp J
Покажем теперьx), что КП унимодулярны в том смысле, что
det J - i. (88.29)
Пусть КП вводится формулами, аналогичными (88.20с); продифференцируем их.
В матричных обозначениях имеем уравнения
by = А Ьх + Вby, Ьх' - ВЬх-\-СЬу', (88.30)
х) Ср. Caratheodory, цыт. соч., § 71, стр. 92.
§ 89] СКОБКИ ПУАССОНА И СКОБКИ ЛАГРАНЖА В QTPII 301 где
d2G3 \ .. ( d*G3 \ ~ I d2G3
дхтдх8! \дхтдха) \дут dy's
(88.31)
Эти уравнения можно записать в виде
by - А Ьх - В by', - Bbx = - bx' + С by',
(88.32)
или
' - А l\ (bx\ /' 0 В\ (Ьх'
(88.33)
В 0)\by) \ - i C)\by'
Сравнивая это последнее уравнение с (87.6), имеем следующее соотношение:
0 В\ (-А 1\
-1 сГ[-в o)J¦ (88-34)
Выражение (88.29) получается, если вычислить детерминанты матриц, стоящих
справа и слева.
§ 89. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа в QTPH1). Пусть и, v - две
функции (2N + 2) независимых переменных (х, у); скобки Пуассона [и, v]
определяются следующим образом:
г , ди dv dv ди г , /оп ..
[и, "] = - -------_ =_[", и]. (89.1)
дхт дут дхт дут
Пусть (х, у) - функции двух независимых переменных и, v, скобки Лагранжа
{и, v} определяются формулами
>"¦ '> -{"•"]• <89-2>
ди dv dv ди
9 Обычно скобки Пуассона обозначаются через (и, и), а скобки Лагранжа -
через [и, а]; ср. Уиттекер [28], стр. 330, 332. Эти обозначения
использует Т i е t z Н., Handbuch der Physik, т. II, стр. 194, 195. Но в
приложениях классической динамики в квантовой теории оказывается более
удобно обозначать скобки Пуассона через [и, а], скобки Лагранжа - через
{и, а}; ср. Дирак П., Принципы квантовой механики, Физматгиз, Москва,
1961, стр. 125.
302 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
В § 97 мы будем употреблять эти же обозначения, подставляя qp, рр вместо
xr, ур, во всех следующих результатах можно немедленно перейти от
обозначений (х, у) к (g-р, РР).
Если и, v, w - три произвольные функции переменных (х, у), то
Это тождество Пуассона - Якоби легко доказать непосредственным
вычислениемх).
Пользуясь матричными обозначениями (87.11), имеем
При произвольном преобразовании (х, у) -> (х', у'), в котором и иг
рассматриваются как инварианты, имеем следующие формулы преобразования
(ср. 87.6) и (87.10)):
и такие же уравнения, в которых и заменено на v. Отсюда
х) Непрямое доказательство см. Аппель [2], II, стр. 380- 382; Nordheim
and Fues [19], стр. 107; Caratheodo-г у, цит. соч., § 71, стр. 55.
\[и, г], гг] - [[г, гг], и] + [[гг, и], г] = 0. (89.3)
(89.4)
(89.5)
89] СКОБКИ ПУАССОНА И СКОБКИ ЛАГРАНЖА В QTPH 303
уравнения (89.4) дают
/ ди ди
["' аР
[U, V =
дх'
ди
(89.6)
Если преобразование каноническое, то согласно (87.15) и (87.16) эти
уравнения принимают следующий вид:
1м, vl
Lm, v \
{к, г} = {к,
(89.7)
т. е. скобки Пуассона и скобки Лагранжа инвариантны относительно
канонических преобразований.
Возвратимся к произвольному преобразованию (.х, у) -> (х', у'). Пусть иА
представляют переменные х[, . . ., x'N+i, у[, . . ., y'N+1; большие
латинские индексы принимают значения 1,2, . . ., 2N + 2 с обычным
условием суммирования. Мы имеем затем две кососимметричные (2N + 2) X (2N
+ 2) матрицы - матрицу Пуассона Р, элементами которой являются Pab=[ua,
mb], и матрицу Лагранжа L с элементами LAb = {ua, ив}. Элемент АС
произведения LP равен тогда
(ЬР)Ас = {мА, ив} [мв, ис] =
¦ дхГ дуТ дхт дуг N г див дис due dut
<¦
диА див див диА / v dxs dys dxs dys Кроме того,
дхт див _ дут див
дивду и отсюда
^ = ^^ = 0,
дхг див _ дуг див
див dxs
див dxs див dys
(89.8)
¦ Ы (89.9)
{ЬР)ас =
дис дуг дис дхг дуг диА дхг диА
Ь°А.
(89.10)
304 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
В самом доле, имеем
Это соотношение между матрицами Пуассона и Лагранжа справедливо для
произвольного преобразования (х, у) -> -> (х', у'). Кроме того, для
произвольных независимых вариаций имеем
Поэтому при произвольном преобразовании (х, у) ->{х', у') матрица
Лагранжа L связана с матрицей Якоби J соотношением
В изложенной теории скобки Пуассона и Лагранжа не имели никакого
отношения к функции энергии ?2. Введем ее и рассмотрим луч или
траекторию, удовлетворяющую каноническим уравнениям (86.6). Пусть F (х,
