Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где интеграл берется вдоль луча или траектории, соеди-
няющей точки D* и D. Вариация концевых точек дает уравнение
6S = pp6qp - pi bq'p . (83.6)
Отсюда, если допустимы произвольные вариации (как это имеет место в общем
случае), получим систему
д- =Рр. t-v = -Рр- (83л)
dqp dqp
Из уравнения (83.2) следует, что S удовлетворяет двум уравнениям в
частных производных:
я(9-?)-* *(*'¦-?)-*• (83-8)
Это уравнение Гамильтона - Якоби в форме (78.2).
§ 83]
ДЕЙСТВИЕ МОПЕРТЮИ
277
В изоэнергетической динамике в пространстве Q, в которой время исключено,
когерентная система лучей или траекторий представляет собой семейство
неподвижных кривых, а соответствующие им волны - семейства неподвижных
поверхностей, причем две волны отстоят одна от другой на постоянную
величину действия Мопертюи.
Так же как в пространстве QT можно с помощью уравнений (69.14) перейти от
уравнения энергии Q (х, у) = О к однородному лагранжиану Л (х, х'), так в
изоэнергети-ческой динамике можно найти однородный лагранжиан Л (q, q')
(где q'p = dqp/du, а и - любой параметр), исключив Ф и рр из N + 2
уравнений
Яр = О дН[4, Р) . Л=рр<7;, H(q,p)-E = 0. (83.9) дрр
Лучи или траектории в пространстве Q удовлетворяют вариационному
уравнению
при закрепленных концевых точках в Q.
Проведем эти рассуждения для системы с лагранжевой функцией
где аро ( = аар), ар и V зависят только от переменных q. (Это немного
более общий случай, чем ОДС в § 66 и (81.8), где ар = 0.) Прежде всего
находим гамильтонову функцию следующим образом:
(83.10)
Рр ". ЯраЯо "Ь Яр> Яр (r) {Ра (r)а)> дЯр
278 ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q> [ГЛ. IV
Далее, согласно (83.9), получаем следующие соотношения: q'p = $ара (ра -
аа), Рр = ар = ^*арaq'a ,
Н {q, р) - Е = - $~2apaq'p q'a + V - E = О,
4 аРоЯр Яа <• (83.13)
02 = А-----------,
E-V
А = рРЯр = Яр О-раЯа У ар).
Таким образом, получаем однородный лагранжиан для изоэнергетической
динамики в пространстве Q:
A (q, я') = 1^2 (Е - У) V apaqp q'a + apqp. (83.14)
Вариационное уравнение (83.10) можно записать в виде
б ^ (УЩ3yj У ара dqp Jqa + dqp) = 0. (83.15)
Если положить ар = 0, так что система становится ОДС, и использовать
кинематический линейный элемент (81.9), то уравнение принимает следующий
вид:
б ^ У (E-V) ds = 0. (83.16)
Это уравнение известно как принцип наименьшего действия Якоби1).
9 Другие выводы этого принципа см. Аппель [2], 11, стр. 388-392;
Голдстейн [7], стр. 253-254. Написанный
с
в эквивалентной форме б ^ Tdt = 0 при условии бЕ = 0, принцип называется
иногда принципом Гёльдера. Этот принцип и принцип Гамильтона оба
содержатся в принципе б ^ (2Т - ХЕ) dt = 0 при
условии б (E^~l dt*¦) = 0, где X - произвольная постоянная; ср. S torch i
Е., Atti Acead. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis.-Mat. Nat. [8] 14, 771-
778 (1953).
§ 84] КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 279
Его можно интерпретировать геометрически, сказав, что траектории являются
геодезическими в пространстве Q, если в нем задан риманов линейный
элемент
ds\ = (Е- V) ds2 = (.Е - V) ара dqp dqa, (83.17)
который можно назвать линейным элементом действия. Эта метрика обладает
особенностью при V = Е, которая соответствует состоянию мгновенного покоя
системы, так как V = Е заключает в себе Т = 0.
§ 84. Кинематический линейный элемент. В этом и следующих параграфах мы
временно оставляем гамильтонову динамику. Рассмотрим динамическую систему
с кинетической энергией
T=^gPc'qPqa. (84.1)
Так как все рассуждения проводятся с помощью тензорного исчисления, то
лучше обозначить координаты через qp (нежели через qp), так как dqP -
контравариантный вектор. Мы представляем систему точкой в пространстве Q,
в котором задан кинематический линейный элемент1)
ds2= 2Т dt2 = gpa dq\ dq\ (84.2)
который мы уже вводили в (81.9). (Здесь а заменены на g для того, чтобы
не было путаницы с ускорением.)
Прежде чем вводить силы, рассмотрим кинематическую сторону проблемы.
Любое движение qP = qP(t) определяет кривую в пространстве Q, и в каждой
точке кривой - контравариантный вектор скорости
if=qp, (84.3)
который можно написать в виде
г;р = "Я,Р, (84.4)
где
Хр = ^ (84.5)
ds
1) Это почти линейный элемент Герца (стр. 78, 84. Цит. в § 61); он
делит этот линейный элемент на полную массу системы, с тем чтобы ds имел
размерность длины.
280 ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q) 1ГЛ. IV
- единичный вектор касательной к кривой. Имеется
также контравариантный вектор ускорения
ар = - . (84.6)
Ы
который равен абсолютной производной скорости Vе; абсолютная производная
векторного поля Vp (и) вдоль кривой qp (и) равна следующему выражению1):
он du Ipvj du
Подставляя значение скорости (84.4) в (84.6), получаем
ар = vXp + kv2vq - г - Xе + xv\p, (84.8)
ds
где vp - единичный вектор главной нормали к кривой движения и х -
кривизна2), определенная формулами
AJ, р
- = XVр, gp<,vpv° = 1, х > 0. (84.9)
os
Таким образом, ускорение изображающей точки можно разложить по
касательной и главной нормалй и прийти к выражениям, аналогичным формуле
