Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 85

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 124 >> Следующая

у) - произвольная функция. Тогда если изображающая точка движется вдоль
луча или траектории, то справедливы следующие равенства:
LP = - 1, L-- Р1, P=-L\ (89.11)
, = &iUA {Мл> Ив} в2иВ
= 6lxr62yr-62Xr6iyr={6iX, б if/) Г
(89.12)
L = JTJ.
(89.13)
Для КП имеем тогда согласно (87.16)
L = Г, Р= ~Ll= -Г-! = Г.
(89.14)
§ 89] СКОБКИ ПУАССОНА И СКОБКИ ЛАГРАНЖА В QTPH 305
В частности, и сами канонические уравнения могут быть записаны через
скобки Пуассона в виде
dXr - [xr, Q], 4^ = to. Ql- (89-16)
dw dw
Таким образом, скобки Пуассона внутренне связаны с движением динамической
системы.
Из уравнения (89.15) и тождества Пуассона - Якоби
(89.3) следует, что для любых двух функций / (х, у) и F (х, у) имеет
место соотношение
- I/, F\ = [[/, n Q] = - [[F, Q], /] - [[Q, /],Е].(89.17) dw
Если / и F - постоянные движения, т. е.
4 = [/,Q] = 0, ^=[^,0] = °, (89.18)
dw dw
то из (89.17) следует, что скобка Пуассона [/, Е] также
является постоянной движения (теорема Пуассона)1).
Будем теперь употреблять обозначения (q, t, р, Н), связанные с
обозначениями (х, у) уравнениями (86.1); возьмем функцию энергии в виде
(86.3), т. е.
Q (х, у) = yN+i + со (xi, ..., xN+u уи ..., yN), (89.1 )
или, что то же самое, в виде
Q (х, у) = - Н + о (q, t, р). (89.20)
Канонические уравнения (86.6) принимают вид dqp __ да dpp _ да)
dw дрр dw dqp
dt _ dll _ да)
dw ' dw dl
(89.21)
О Ср. Аппель [2], II, стр. 382-383.
20 Дж. Л. Синг
306 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPB) [ГЛ. V
Таким образом, t = w + const, и мы имеем следующие уравнения:
dqp = _<9со dpp = _ dH = да
dt дрр ' dt dqp ' dt dt
На поверхности энергии Q = 0 можно подставить Н вместо w и уравнения
примут обычную форму
dqp _ дН dpp _ дН dH _ дН
dt дрр ' dt dqp ' dt dt
. (89.23)
Для произвольной функции F (q, t, р, Н) имеем согласно
(89.15) следующее уравнение:
dF dF д Q , dF dQ д Q dF
dt дхрдур dxN+idyN + i dxp dyp
dQ dF dF da , dF da dF , da dF
dxN + i dyN + i dqp dpp dt dqp dpp dt dH
(89.24)
На поверхности энергии Q = 0 и можно писать Н вместо со, получив таким
образом
? = ? + 1Г^ + [F' Н]*>' (89-25)
dt dt dt дН
где
[F, Н]ЗР = - - - - . (89.26)
dqp дрр dqp дрр
Если F = F (q, t, р), это уравнение превращается в следующее:
% = °l+[F, HU (89.27)
dt dt
а если F = Н, оно превращается в простое уравнение:
dH dH
§ 90] канонические преобразоёания 307
§ 90. Канонические преобразования, производимые каноническими
уравнениями. Основной относительный интегральный инвариант. КП, которые
мы рассматривали, были конечными преобразованиями. Для того чтобы
получить бесконечно малое КП, т. е. преобразование, близкое к
тождественному, вспомним, что тождественное преобразование было дано
формулами (88.22); соответственно следуя плану (88.20с), вводим
производящую функцию
G3 (х, у') = хту'т + F (*> У') du, (90.1)
где функция F произвольна, a du - бесконечно малая постоянная величина.
Эта формула дает КП
, . 7 6F (х, у') , 9F (х, у')
ут = ут -1- du' ------ , хт = хт + du -----------------------------
------- (90.2)
дхт ду^
или, с точностью до членов первого порядка, выражения
Лхг = х;-хг = *и.№Л*'У} ,1
дут |
aF<. \ (90-3)
dyT = Ут - Ут = - du ; J ^ .
дхт ]
Здесь мы заменили в частных производных у' на у. Если напишем
канонические уравнения (86.6) в форме
j j д& {х, у) <9?2 (х, у) ..
dxT = dw------------------------ , dyr - - dw.---- (90.4)
дут дхт
и сравним их с (90.3), то можно сказать, что канонические уравнения
порождают бесконечно малое КП, приращение dw специального параметра w
играет роль инфинитези-мальной постоянной du, а функция энергии Q - роль
функции F.
Однако здесь имеет место существенное изменение в точке зрения, которое
может быть источником серьезных недоразумений. До сих пор мы
рассматривали КП как изменение, так сказать, "этикетки", прикрепленной к
неподвижной точке в пространстве QTPH, а канонические уравнения - как
описание движения изображающей
20*
308 ЙГобТРАНСТ'ЙО ЙОСТОЯЙЙЙ Й ЭНЕРГИЙ (QTPtt) tdJl. V
точки в QTPH в некоторой неподвижной системе координат. Этот дуализм
интерпретации имеет место во всей теории преобразований, и мы
сталкиваемся с ним, когда исследуем две возможные интерпретации КП.
I) Имеем совокупность геометрических объектов (точки в QTPH), которым
могут быть сопоставлены различные группы "этикеток" (х, у), (х', у').
II) Имеем евклидово пространство E2N+2 с одной фиксированной системой
прямоугольных координат и (х, у), (ху') - координаты двух различных точек
этого пространства E2N + 2 в этой системе координат.
Согласно первой точке зрения преобразование (х, у) -> {х', у') изменяет
"этикетки", прикрепленные к неподвижным точкам; согласно второй -
преобразование смещает точки, а пространство E2N+2 в целом преобразуется
в себя. Если положить F = ?2 и du = dw, то существует полная формальная
согласованность между уравнениями (90.3) и .(90.4); эту общую форму можно
интерпретировать геометрически любым из указанных двух способов.
До сих пор мы изучали только бесконечно малые КП, порождаемые
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed