Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
то получим систему 2N канонических уравнений, что и требовалось; новая
функция энергии содержит yjv+i как постоянную.
Если ограничиться рассмотрением траектории на поверхности энергии ?2 = 0,
то возможно понизить порядок системы еще на 2. В новых координатах
поверхность энергии имеет уравнение
?2 (а^, ..., zjv, y^i •. -, yjv+i) = 0; (92.21)
разрешаем, это уравнение относительно одного из у', например у'^, и
продолжаем рассуждать как в случае
(92.7), получим 2N - 2 канонических уравнений, анало-
320 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ И ЭНЕРГИИ (QTPH) 1гл. V
гичных системе (92.9). Таким образом, используя первый интеграл и
уравнение поверхности энергии, можно уменьшить число уравнений системы до
2N - 2.
Далее следуют некоторые примеры, а) Уменьшение числа уравнений с помощью
игнорируемой координаты или с помощью, интеграла энергии в случае
консервативной системы. Как мы увидим, все эти рассуждения тривиальны, но
они помогают объяснить метод. Предположим, что одна из координат,
например xN +t, не входит явно в Й (х, у). Принимая во внимание все, что
сказано выше о симметрии обозначений, можно утверждать, что либо I)
система имеет игнорируемую координату (§ 46), либо II) система
консервативна (t не входит явно в Н (q, t, р)). Следующее рассуждение
охватывает оба случая.
Итак, предполагаем, что
dQ = 0, (92.22)
dxN + l
а следовательно, имеем первый интеграл
F (х, у) = yN+1 = const. (92.23)
Дифференциальное уравнение в частных производных
(92.13) имеет очень простую форму:
= y'N+i; (29.24)
OXN +1
решение его можно взять в виде
G (х, у) ¦= хгУг. (92.25)
Согласно (92.15) эта функция определяет тождественное преобразование
Уг = Уг, Хг = Хг, (92.26)
и задача уменьшения числа уравнений системы до 2N состоит просто в том,
что из канонических уравнений нужно выбрать 2N уравнений:
dx р dQ dyp dQ
92] УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 321
Для того чтобы уменьшить это число до 2N - 2 на поверхности энергии,
напишем уравнение поверхности в форме
^ (х, У) = Ун + со {хи ..., xN, уь ..., yN-i, yN+1) = 0.
(92.28)
Тогда уравнения (92.27) дают, как и в случае (92.9), систему
dx 1 dx jy
dyi
да
dyi
dx
N-
da
9co
dxN dyN-1
dyN-
9co
dXN
dxi
dxM
dXN-i
(92.29)
Перейдем теперь к обозначениям q, t, p, H, используя формулы перехода
(92.10). Исходим из функции энергии
Q (q, р, -Я);
(92.30)
по предположению, t не входит явно в эту функцию. Имеем первый интеграл
Н - Е (92.31)
и уравнения движения вида (92.27)
dq0
dQ
dpp
9Q
dw
(92.32)
дрр ' dw dqp
Возьмем теперь поверхность энергии ?2 = 0 и напишем
ее уравнение в новой форме,
^ = pN + (c) (qi, • ¦ Qn, Pi, ¦¦¦, Pn-u-E) = 0; (92.33)
вместо H здесь подставлена постоянная Е. Тогда имеем следующие уравнения
движения, аналогичные (92.29):
dqi
да
dqN-1
9(0
dqN
dpi
dpi
да
dqN dpN-l' dpN-i 9(0
(92.34)
dqN dqt ' dqN dqN-i
Здесь (о содержит независимую переменную qN. Таким образом, для
консервативной системы с помощью инте-
21 Дж. Л. Синг
322 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
грала энергии Н = Е можно уменьшить х) число канонических уравнений до 2N
- 2.
Р) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла, линейного относительно
импульсов. Предположим, что система имеет первый интеграл
Vi + Уг + Уг = const. (92.35)
Удобно несколько изменить план исследования, ввести производящую функцию
G (х', у) и получить КП
*г = -у~, У;=1П- <92-36)
дуТ дхт
Итак, ищем функцию G, которая удовлетворяла бы уравнению
Vi + Vz + Уз - Vi = -г • (92.37)
dxi
Таким решением может быть
G =х[ (у + у2-\- Уз) + х2Уз + ... + xN+lyN+i; (92.38) эта функция
удовлетворяет условию
det-^фО, (92.39)
dx,. dys |
так что (92.36) дает КП (х, у) -> {х , у'). Так как у' - постоянная
движения, то (х', у') не содержит переменной х[, следовательно, новые
уравнения движения имеют вид
dx2 д?1' cIxn+i dQ '
dw ду2 dw dy'N+i
dy2 _ д&' dy'N+1 _ dQ'
dw dx2 dw dx'N+i
(92.40
x) Ср. У иттекер [28], стр.|345, где дано другое излодае--ние процесса
уменьшения числа уравнений.
§ 92] УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 323
т. е. они представляют собой систему 2N уравнений. Интегралы приведенного
выше типа встречаются в проблеме трех тел (§ 53); в этом случае мы имеем
три интеграла количества движения:
yi + yt + y? = yl, ]
У2 + Уь + Уа = У2, | (92.41)
Уз + Уе + Уз - Уй J
здесь в правых частях стоят постоянные движения. Система имеет девять
степеней свободы (N = 9). Выбирая производящую функцию в виде
G (*', у) = x'i (yi + Уь: + Ут) + х2 (у2 + Уь ¦+¦ Уа) +
+ хз (Уз + Ув +: Уз) + хкУь + ... + х{0у10, (92.42)
исключаема;', х2, х3 из преобразованной функции Q, в кото РУЮ Ун Ун Уз
входят как постоянные. Вследствие этого число канонических уравнений,
взятых в форме (92.1), сводится с 20 до 20 - 6 = 14. Но если мы
рассматриваем задачу в пространстве QP (§ 96), используя вместо ?2 (х, у)
функцию энергии Н (q, р), то при этом число уравнений уменьшается с 18 до
12х).
у) Уменьшение числа уравнений с помощью интеграла площадей. Предположим,
