Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (72.12) имеем выражение
bS =Рр6?р - #6* -p*pdq; -f H*bt* (95.2)
для произвольных вариаций Е* и Е. Преобразование Е* -> Е задается поэтому
уравнениями
dS dS
Рр - , Рр ; (95.3)
dql
при этом t* и t - заданные постоянные значения, которые
Рис. 44. Каноническое преобразование Е* -> Е, производимое естественной
конгруэнцией траекторий в QTP.
t имеет соответственно на поверхностях 2* и 2. Преобразование функции Н
определяется уравнениями
Я = - - , Л*-". ( 95.4)
at df
Мы видим, что (95.13) представляет собой каноническое преобразование
(9*. Р*)->(9, Р); (95.5)
величины t* и t входят как параметры в производящую функцию S. Если
зафиксировать значение t* и изменить t, то получается множество
канонических преобразований, которые преобразуют начальную изохронную
поверхность (t = t*) во все последовательные изохронные поверхности.
332
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ (QTP) [ГЛ. VI
Для того чтобы вывести каноническое преобразование, можно использовать
также характеристическую функцию в пространстве импульса - энергии W {у*,
у) (§ 79). Выражая эту функцию в виде
W = W (р*, Н*, р, Н), (95.6)
получим преобразование
dW * dW
Яр ~ > Яр :
ЯРр dpi
(ср. с (79.14)). Поверхности, которые при этом канонически преобразуются
одна в другую, являются поверхностями, на которых Н = const. Это
преобразование теряет смысл, если дН /dt = 0, так как тогда Н = const на
каждом луче или траектории и, следовательно, эти уравнения не могут
преобразовать одну поверхность Н = const в другую.
(95.7)
ГЛАВА VII
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
§ 96. Основная теория для консервативных систем в QP. В главах Д II-VI
были введены различные пространства изображений для того, чтобы пролить
свет на математическую структуру гамильтоновой динамики. Несмотря на
разнообразие представлений, все они связаны между собой теорией одного
типа, теорией, основанной на допущении уравнения энергии Q (х, у) = 0 или
на гамильтониане Н (q, t,p). Из этих пространств пространства QT, QTPH и
QTP лучше других подходят для обсуждения теории наиболее общего типа: PH
имеет несколько более узкий интерес в связи с проблемами столкновений; Q
- полезно в случае консервативных гамильтоновых систем (для которых Н = Н
(q,p)), а также для негамильтоновой динамики.
Мы переходим к последнему пространству изображений - 2Лт-мерному фазовому
пространству QP, в котором координатами1) точки являются qp, рр.
Вероятно, пространство QP наиболее знакомо физикам в связи с
использованием его в статистической механике2).
Ч Вообще говоря, в конечных областях может потребоваться существование
перекрывающихся координатных систем (ср. § 63) с каноническими
преобразованиями в пересечениях.
а) Гиббс Дж., Основные принципы статистической механики, Гостехиздат,
Москва, 1946 (The Collected Works of J. Willard Gibbs, т. II (New York -
London - Toronto, Longmans Green, 1928)). Гиббс (цит. соч., стр. 6, 10)
ввел геометрическую идею фазового пространства, обладающего инвариантным
фазовым интегралом ^ dpi dp2 . . . dp pi dqx ... dqpj. Полное и ясное
обсуждение работы Гиббса см. в статьях Haas A. and Epstein P. S.,
Commentary on Scientific Writtings of J. Willard Gibbs, т. II
334
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. TII
При изучении гамильтоновой динамики в QP нужно рассматривать время t как
параметр, а гамильтониан - как заданную функцию Н (q, t, р) переменных
(q, р) и этого параметра. Канонические уравнения
дН • дН та
% = -г- > Рр = - (96-1)
dp р dqp
описывают движение изображающей точки в пространстве QP. Нужно различать
общий случай (дН /dt Ф 0) и случай консервативности (дН/dt = 0). В случае
консервативной системы имеем
H = H(q, р) (96.2)
и видим, что QP заполнено естественной конгруэнцией с уравнениями
dq1 dqN dp1 dp
N
dll "' dH_ _dH_ _dH_' (96-3)
dpi dp N dqi dqN
каждая кривая конгруэнции (т. е. каждая траектория) лежит на (2N - 1)-
мерной поверхности, уравнение которой имеет вид
Н (q, р) = Е, (96.4)
где Е = const. Соответствующая картина для случая, когда Н = Н (q, t, р),
более сложна потому, что направление траектории в точке пространства QP
зависит от значения t, так что существует оо1 возможных направлений в
точке пространства, зависящих от значения t.
В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только
консервативные системы, для которых функция Н имеет вид (96.2).
(New Haven, Gale University Press, 1936). Пространство QP называется
также (i-пространством ((i-Raum) или Г-пространством соответственно
способу, которым оно вводится в статистической теории; ср. Munster A.,
Statistische Thermodynamik, стр. 27-99 (Berlin - Gottingen - Heidelberg,
1956).
§ 96] ОСНОВНАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 335
Сравнивая (86.6) и (96.1), видим, что динамика консервативной системы в
пространстве QP с гамильтоновой функцией Н (q, р) математически
тождественна динамике в пространстве QTPH с функцией энергии ?2 {х, у).
Единственное отличие заключается в обозначениях.
Этот изоморфизм интересен потому, что он объединяет вместе
