Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
противоположные подходы к гамильтоновой динамике. С одной стороны,
динамика в пространстве QTPH имеет столь большую общность, какую только
можно пожелать в настоящее время, причем как время t, так и гамильтониан
Н входят в уравнения математически равноправно с (q, р), так что теория
вполне пригодна для применения в релятивистском случае. С другой стороны,
динамика консервативной системы в QP охватывает те проблемы, которые
являются наиболее известными в ньютоновой динамике и возникают из
рассмотрения движения систем частиц и твердых тел.
Однако хотя динамика в пространстве QTPH и динамика консервативных систем
в QP математически изоморфны, их физические интерпретации совершенно
различны и целесообразно перевести теорию, развитую для QTPH, в форму,
приложимую к динамике консервативных систем в QP.
В таблице на стр. 336 приведены отмеченные соответствия х).
Если сместить контур С в пространстве QP на {dq, dp) вдоль естественной
конгруэнции, то, как и в формуле
(90.17), циркуляция изменится при этом на
dx (С) = d^> рр бqp = - ^ dt бН. (96.5)
с с
Поэтому циркуляция не изменяется при перемещении, если
1) контур С движется вместе с системой, так что dt = const, или
2) контур С проведен на изоэнергетической поверхности Н = const.
1) Обозначения см. в § 62.
336
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
Пространство состояний и энергии QTPH 2Л1+2-иЗмерений
Фазовое пространство QP 2ЛГ-иэмерений
Координаты точки Функция энергии
Канонические уравнения
Специальный параметр на траектории
Циркуляция
Инвариантная билинейная форма
Скобки Пуассона
Скобки Лагранжа
хт> Уг Q(x, у)
dxT Oil
~ дУт
dw
dyT
dw
dQ
дхт
?p> Pp
Гамильтониан H (g, p)
dqp OH
dt dpp '
dfp _ OH
dt
утЪхт
b 1X г Й-2:ГГ^1 У Г
[и, v] =
{и, V} =
ди dv dxT dyr dv ди dxT дуг dxr dyp du dv _ dxT dyT dv du
dQp
Pp bqp
b dlp^'zPp ' iPp
du dv
[u, v] =
{u, v} =
dqp dpp dv du dqp dpp
dqp dpp __ du dv _ dqp dpp dv du
Канонические преобразования (88.20) здесь принимают вид
dG' (q, q) .
Pp = Яр = Pp = Яр =
dGi (Я, Я') дЯР dG2(p, р') дрР dG3 (q, р') дЯр
dGi (р, я')
dpp
Р р = -Яр= -Яр Рр
dя р dG2 (р, р'). dp'p dG3 (q, р') .
dp'p dGj{p, q) dq'p
(96.6a) (96.6b) (96.6c) (96.6d)
§ 96] ОСНОВНАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 337
Здесь производящие функции произвольны и должны только удовлетворять
условию несингулярности, а именно
Различные производящие функции, выполняющие одно и то же преобразование,
связаны уравнениями вида (88.19).
В QTPH функция Q была инвариантом, а специальный параметр w оставался
неизменным при КП. Поэтому в QP, Н преобразуется как инвариант, a i не
изменяется. Канонические уравнения (96.1) преобразуются в следующие:
Для того чтобы преобразовать траектории в пространстве QP в параллельные
прямые, повторим рассуждения § 91х). Находим функцию G (q,p'),
удовлетворяющую уравнению Гамильтона - Якоби,
и после интегрирования траектории будут представлены следующим образом:
где ait bt и Е - постоянные.
О Эта формальная аргументация имеет место только в малых областях; ср. с
§ 63, 100.
22 Дш. Л. Синг
ддР dq'a
(96.7)
dp р dq'p
(96.9)
(96.10)
определяет гамильтониан
Н' (?', р') = Н (q, р) = р'ц,
(96.11)
Яi - Яг, • • •> Яы-i - aN- ii Яы - П Pi - bi, ..., Pn^-i ~ bN-i, pft = E,
| (96.12)
338
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
В случае консервативной системы всегда можно уменьшить число канонических
уравнений на два с помощью интеграла энергии
который является очевидным следствием уравнений (96.1). Это уменьшение
проводилось в § 92 и здесь достаточно отметить, как выполняется эта
операция. Разрешаем уравнение (96.13) относительно одного из импульсов,
например pN, получая, таким образом,
Pn = -/ (Яи ¦ ¦ ¦> Qn, Ри ¦ ¦ ¦, Pn-u Е); (96.14)
тогда система 2N - 2 полученных уравнений имеет вид
(92.34), с той лишь разницей, что со заменена на /.
Если дан первый интеграл F (q, р), т. е. постоянная движения, то можно
уменьшить число уравнений движения на два, как в § 92, решая уравнение
относительно G (q, р') и применив КП (96.10). Так как p'N - постоянная
при движении, то новый гамильтониан Н (я > Р ) не содержит q'N и новые
уравнения движения имеют следующий вид:
Кроме этого, мы можем уменьшить число уравнений на два с помощью
интеграла энергии (96.13).
Заметим, что решение уравнения (96.15) эквивалентно определению движения.
Рёшение (96.15) может быть гораздо более простым, если F (q, q) будет
простой функцией, аналогичной pi + р2 + рз (ср. (92.35))
H(q, р) =Е,
(96.13)
<9 I
det ---г ф 0 (96.15)
ддР дра
ki г~~г > • • • > 4n- 1
dpi
дН'
дН
dp'N-1
дН'
§ 97]
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
339
§ 97. Неконсервативные системы. Канонические преобразования в QP. Скобки
Пуассона и скобки Лагранжа1).
Обратимся к рассмотрению неконсервативных систем с гамильтонианом Н (q,
t, р), явно зависящим от времени, так что
^ Ф 0. (97.1)
dt
Так как функция энергии в пространстве QTPH имела вид Q {х, у), а не Q
{х, у, ш), то нельзя перенести теорию, развитую для QTPH, простым
