Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
этого уравнения.
d2G d2G
dqpdpa dqpdH' d2G d2G
dtdp'a dt dH'
316 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
§ 92. Уменьшение числа канонических уравнений с помощью первого
интеграла. Возвратимся к вопросу о числе уравнений движения, возникшему в
конце § 68.
Пусть дана функция энергии Q (х, у), удовлетворяющая системе 2N + 2
канонических уравнений:
dxT _ dQ dyr _ dQ
dw dyr ' dw dxr '
Умножив их на dw/dxN + i, получим
(92.1)
5Q
dx р дуР dyP dx p
dx jv+i 8Q ' dx jv+i dQ
dyiv+i dQ дун+i
dyjv+i _ dxjv+i dxN+l dQ ' дуи+i
(92.2)
(92.3)
Это - система 2N + 1 уравнений; независимая переменная XN+1 ВХОДИТ ЯВНО в
Q.
Известно, что вдоль каждой траектории выполняется условие
Q (х, у) = с. (92.4)
Разрешая это уравнение относительно yN+1, имеем
Ун-fi = е) (xi, . •., Xpf^.i, t/i, ..., y?fi О* (92.5)
Подставляя это значение в (92.2), получим систему 2N уравнений,
содержащую постоянную с. Если эти уравнения разрешены относительно хи ¦ •
•> у и ¦ • •> Уго
то ун + i определяется формулой (92.5). Таким образом, систему
канонических уравнений (92.1) можно свести к системе 2N уравнений, но
полученные уравнения (92.2) уже не будут каноническими.
Предположим теперь, что вместо заданной функции энергии (которая приводит
к естественной конгруэнции, заполняющей QTPH) задана поверхность энергии
уравнением
Q (х, у, = 0. (92.6)
§ §2] УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 317
Траектории теперь проходят через точки этой поверхности. Все еще остаются
справедливыми уравнения (92.1) -
(92.3), а также (92.4) и (92.5) при с = 0. Однако сейчас мы интересуемся
поверхностью, и уравнение этой поверхности можно взять в различных
формах. В самом деле, форма функции ?2 не задана раз навсегда; мы имеем
право изменить ее так, что уравнение поверхности энергии примет вид
Q (х, у) = yN+1 + ш (xi, . . ., xN+i, уи .
Таким образом получим
д?2
дуи+1
и уравнения (92.2) преобразуются к виду
dxр ^ d?2 dyp __ _d?2 ^ g\
dxN+1 дур ' dxN+1 дхр '
Это - система 2N уравнений. Если положить в основу динамики поверхность
энергии в пространстве QTPH, то уравнения движения можно свести к системе
2N уравнений с сохранением канонической формы, если при этом
I) писать уравнение поверхности энергии в форме (92.7) и
II) выбрать в качестве параметра xN+i. Заметим, что параметр xN+i
содержится теперь в ?2, в то время как w не входил явно в ?2 в уравнениях
(92.1).
Обычный переход от переменных (х, у) к (q, t, р, Н) определяется
формулами вида
хр = Яр, xN+l = l, 1 (9210)
Ур =Рр. Ун+i = -Н. )
Однако вследствие симметрии формул при обозначениях (х, у) нет
необходимости настаивать именно на этом переходе. Мы вправе переставить
индексы при хТ (сделав такую же перестановку и у ут). Таким образом, в
уравнении
(92.7) yN+i отнюдь не обязательно обозначает -Н; он
может означать рi, и в этом случае параметром в уравне-
ниях (92.9) является не t, a qi. Никогда нельзя забывать многозначности
обозначений (х, у).
¦ •> Уи) - 9.
(92.7)
(92.8)
318 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
В дальнейшем мы будем предполагать, что задана функция энергии.
Рассмотрим систему, которая обладает первым интегралом F (х, у), т.
е.
^- = [f,Q] = 0 (92.11)
(ср. с (89.15)), так что вдоль каждой траектории
F (х, у) = const. (92.12)
Обсудим, как с помощью этого первого интеграла*) уменьшить число
канонических уравнений с 2N + 2 до 2N, сохраняя каноническую форму
уравнений и специальный параметр w.
Пусть G (х, у') - решение дифференциального уравнения в частных
производных,
F (*, ^ = Vn+i, ( 2.13)
удовлетворяющее условию
det ф 0. (92.14)
дхт ду'
Рассуждения аналогичны рассуждениям § 91, в которых уравнение Гамильтона
- Якоби (91.2) заменено уравнением (92.13), и можно спросить, есть ли
смысл тратить время на рассмотрение (92.13), когда решение уравнения
(91.2) дает решение задачи движения. Ответ заключается в том, что
практические возможности получения такого решения в большой степени
зависят от сложности функции (соответственно Q или F). Может случиться,
что функция F значительно проще, чем Q.
х) Доказательство, данное здесь, будучи проведенным в пространстве QTPH,
имеет, по-видимому, большую общность, чем другие исследования; ср.
Nordheim and F u е s [19], стр. 115. Детальное обсуждение вопроса об
упрощении системы канонических уравнений, если известен первый интеграл,
см. Ргапее [21], стр. 713-726.
§ 92] УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 319
Решив уравнение (92.13), применим КП
' dG
yT = --t хт = -• (92.15)
дхг дут
и уравнения движения преобразуются к следующему виду:
дхг _ dQ' dy'r _ д?2'
dw ду'г ' dw дх'г '
(92.16)
где ?2' - новая функция энергии
?2' (*', у') = ?2 (х, у). (92.17)
Имеем тогда д?2' _ dyN+1 _ d р f х dG
dx'N+i dw dw \ dx
= -Af(x,v) = 0, (92.18)
dw
так что переменная x^ +i не входит явно в ?2':
?2' = ?2'(ач, x'N, у[, y'N, y'N+i). (92.19)
Если теперь выделить из (92.16) 2N уравнений dxр _ d?2' dy'p _ д?2'
dw dy'9 dw дХр
(92.20)
