Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
yT^r-y;^L = K. (88.11)
dv dv do
Дифференцируя его по и, меняя местами и и v, и вычитая один результат из
другого, получаем
{и, v) = {и, г?}', (88.12)
пользуясь обозначениями (87.21). Тем самым установлено существование
билинейного инварианта, а отсюда и канонический характер преобразования
(х, у)->(х', у').
Теперь мы имеем три критерия для установления каноничности
преобразования: I) критерий симплектичности
(87.16), основанный на матрице Г, II) критерий билинейного инварианта
(87.19) и III) критерий полного дифференциала (88.10).
Канонические преобразования могут быть осуществлены следующим образом.
Пусть 6Д (х, х') - некоторая произвольная функции. Если определить (у,
у') как
,, dGi (я, х ) , dGi (х, х ) ^^
Уг - г > Уг - ~ ; > (88.13)
dxT dxT
то
уг Ьхг - у'т Ьхт - 66Д (х, х'), (88.14)
т. е. 66Д (х, х') - полный дифференциал в пространстве (х, х'). Однако
изложенное отнюдь не обязательно определяет преобразование (х, у)-> (я',
у'), потому что нет уверенности в том, что из уравнений (88.13) можно
выразить \х, у) через (х', у') или наоборот. Для того чтобы исследовать
этот вопрос, продифференцируем (88.13), получив
296 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ и ЭНЕРГИИ (УТРИ) 1ГЛ. V
при этом
(88.15)
Наложим на Gt (х, х') условие
. d^Gi _ det Ф 0.
Я-'
дхг dxs
(88.16)
Тогда уравнение (88.15) можно разрешить относительно (бх, б у), выразив
их через (бх\ Ьу'), и наоборот. Эти решения можно проинтегрировать,
потому что если в пространстве (х, х') мы обходим малый контур., то и в
пространствах (х, у) и (х', у') мы также обходим малые контуры. Отсюда
получаем обратимое преобразование: (х, у)->(х', у'); вследствие уравнения
(88.14) это КП.
Таким образом, начав с производящей функции Gi(x, х'), на которую
наложено единственное условие (88.16), мы получаем КП из (88.13) или
(88.14). Этот мощный метод установления КП не дает, однако, всех КП. Он
не дает тех канонических преобразований, для которых переменные (х, х')
связаны одним или более соотношениями1); таким путем, в частности, не
получаются также КП Матье, для которых2)
Точно так же с помощью других производящих функций, описанных ниже, не
удается получить некоторые специальные КП. Но для понимания общей теорий
КП целесообразно пренебречь такими специальными случаями и предположить,
что КП, встречающиеся в рассуждениях, таковы, что любая из следующих
совокупностей (2N + 2) переменных образует координатную систему в
пространстве QTPH в том смысле, что переменные любой такой
Уг бхг - у; бхг' = 0.
(88.17)
§ 88] ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 297
совокупности можно варьировать произвольно и независимо:
(х, У), (х', у'), (х, х'), (х, у'), (у, х'), (у, у').
Формула (88.14) может быть записана в следующих
эквивалентных формах:
ут Ьхт - УгЬхг = 6Crj, (88.18а)
хт бут - х'т Ьут = 662, (88.18Ь)
Ут Ьхт -f х'тЬут = 6G3, ' (88.18с)
хт §Ут + Ут bx'r = 6G4, (88.18d)
где
(*2 = Хтут - х' у; - Gu |
G3 = zr Ут + Gu | (88.19;
Gt = ХтУт - Gi. J
Имеются, таким образом, четыре различных способа порождения КП:
= Уг = - dGi-*: . (88.20а)
дхг
^ = у ^ = _ dG2 О/, У ) , (88.20Ь)
дут
-dGi (х, х)
дхг
dG2 (у, У)
дут
dG3(x, У)
дхг
dGi (у, х)
Ут = , х'т = дС±(х'У'> , (88.20с)
дут
Хг = ~ (У?. * ) (88.20d)
Любая из этих формул дает КП; производящая функция, входящая в них,
должна удовлетворять только одному - неравенству вида (88,16).
298 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
Можно привести некоторые особенно простые примеры КП. Во-первых, применяя
формулы (88.20а), имеем
G (х, х') = хгхг', det 7 = 1,
дхг dx's
Ут = Хт , Ут - %Т,
так что при этом преобразовании переменные меняются местами, причем в
одном случае изменяется знак. Во-вторых, взяв другую производящую
функцию, применяя при этом формулы (88.20с),
G (х, у') = хту'т, det f G = 1, |
dxTdys (88.22)
Ут Уг 1 Хт Хг,
получим тождественное преобразование. Наконец, в-третьих, вновь применим
(88.20с), выбирая новую функцию G (х, у'):
G (х, у') = /г (х) yr, det 9 G r = det Ф 0, (88.23)
дхт dy's дхт
причем на произвольные функции /" (я) накладывается только это последнее
условие. Получаем
Ут = Уз, = /г (я), (88.24)
дхт
следовательно, имеем произвольное преобразование (я) -> (х), а уг
преобразуется как ковариантный вектор. Это обобщенное точечное
преобразование1).
0 Уиттекер [28], стр. 324; Голдстейн [7], стр. 260, называет его просто
точечным преобразованием. См. там же дополнительные детали о КП и
примеры. См. также Win tn ег [30], стр. 34, С а г a t h ё о d о г у, op.
cit., § 71, ртр. 102.
88]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
299
В обозначениях (q, t, р, Н) (ср. с (86.1)) каноническое преобразование
(88.20) принимает следующий вид:
Gi = Gi(q, t, q , t )
dGi
Pp = ---dq p
-H =
dG\
dt
dGi dGi
(88.25a)
G*= G2(p,H,p',H'): 1
5 C?2 ^ dGi
Яр = - >
dpP
t =
Яр =
dG2
dp'n
dH
dG2
dH'
(88.25b)
G3 = G3(?, *,p', #'):
Pp =
Яр =
dG3
9Яр
dG3
dp'p
- H =
dG3
dt
t'= -
dG3
1ЙГ
(88.25c)
Gt, - Gi(p, H, q', I):
dGi t d Gi
