Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Далее определим:
1 [*
1м = -т \ Фм du 1 .., Ml J
du
2М •
(98.5)
') При условии, что их ориентация не изменяется; ср. В 1 о с к
II. D., Quart. Appl. Math. 12, 201-203 (1954).
344
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
Его значение не зависит от выбора параметров и А в D.
Вводя символ перестановки bAi • • • а2М> который кососимметричен
относительно всех своих индексов и равен единице, когда они пробегают
значения 1,2, . . ., 2М, можно записать детерминант (98.2) в явном виде.
Однако нам нужна функция Фи только в форме (98.4); она имеет вид
_ dQpi ^Ярм ^Ppi дрРМ
М - eAj . . ,А2м duAi дил^ диАм+1 ди-А2М '
(98.6)
Здесь суммирование производится по каждому g в пределах 1 ... N и по
каждому А в пределах 1 . . . 2М. Выражая Фм через скобки Лагранжа, имеем
, i ум
Фм = (, ~2 ) BAl " ¦ Л2М f{LlA~" UamJ iu^uAM+2) ¦ ¦ •
••• iUA-M' UA2m'<- <98'7)
Каждые скобки Лагранжа не зависят от t согласно (97.19). Поэтому Фм не
зависит от t, и мы заключаем, что интегралы 1м, определенные формулами
(98.5) для М - = 1, 2, . . ., N, являются абсолютными1) интегральными
инвариантами. \
Случай М - N имеет особый интерес. Абсолютный интегральный инвариант
Iн = \ Фдг dui ... du2N (98.8)
N\ ?
представляет теперь интеграл, распространенный по части 2Аг-мерной
области D в 2Аг-мерном фазовом пространстве QP. Эта область изменяется с
t, изображающие точки перемещаются согласно каноническим уравнениям (рис.
45). Для любого произвольно выбранного значения t можно использовать (q,
р) как координаты в области D, так
г) Они называются абсолютными (не относительными), потому что D не должно
быть замкнутой областью (например, контуром).
§ 98] АБСОЛЮТНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
345
ЧТО
Hi = qi, . . ., uN = <7лг, Идг+1 = pi, . . ы2Лг = Pn'
(98.9)
Уравнения (98.2) и (98.4) дают тогда Да (Qi, •••? •••> аn) = ер1 ...
роN>
Фк = N\
(98.10)
и интегральный инвариант IN принимает следующий вид: IN = ^ dqi ... dqN
dpi ... dpN - ^ dq dp (98.11)
D D
(если использовать сокращенное обозначение). Называя этот инвариант
объемом1) D, имеем теорему Лиувилля: объем любой части пространства QP
сохраняется, если изображающие точки, которые образуют его, движутся
согласно каноническим уравнениям.
Этот результат имеет столь большое значение в статистической механике,
что мы рассмотрим его е двух точек зренйя.
Во-первых, теорема Лиувилля в той форме, в какой она доказана им2), на
самом деле более обща, так как в ней можно не требовать ни четности про-
в (теорема Лиувилля). странства, ни канонической
формы уравнений движения. Рассмотрим уравнения
^ = ХА (х, 0, (98.12)
dt
9 Гиббс называет его extension-in-phase (фазовый объем). [См. Гиббс,
Основные принципы статистической механики, Гос-техиздат, Москва, 1946,
стр. 23. (Прим. перев.)]
2) Известная теорема - побочный результат в его статье; см. T. iouville
J., J. de Math. 3, 342 (1838).
Рис. 45. Сохранение объема
346
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО (QP)
[ГЛ. VII
где правые части удовлетворяют условию
= 0, (98.13)
дХА
дхА
а индексы А пробегают значения 1, 2, . . М (с обычным условием
суммирования). Используем гидродинамическую терминологию вместо того,
чтобы следовать рассуждениям Лиувилля. Уравнения (98.12) определяют поле
скорости vA = ХА в ЛГ-мерном пространстве, в котором хА выбраны в
качестве декартовых прямоугольных координат. Так же как в обычной
гидродинамике выражение ди dv ди)
дх ду dz
есть расходимость (скорость возрастания единицы объема), так и в
этом ЛГ-пространстве dvA/dxA имеет тот же
смысл, а объем определяется как ^ dx\ . . .
dx^- Тогда
вследствие (98.13) объем сохраняется. Детали доказательства можно
дополнить, выразив скорость возрастания объема, движущегося согласно
уравнениям (98.12), через интеграл по ограничивающему его (М - ^-
пространству и применяя теорему Грина. Очевидно, что в частности условие
(98.13) выполняется, если М четно и уравнения (98.12) - канонические.
Возможен другой подход с помощью канонических преобразований (КП). Суть
дела здесь состоит в том, что якобиан КП равен единице (ср. с (88.29));
это остается справедливым даже в том случае, если КП (q, р)~> (q', р')
содержит t как параметр. Отсюда следуют два заключения. Во-первых,
совершенно безотносительно к движению, видим, что интеграл IN (98.11)
есть удобное определение объема, так как объем, определенный таким
образом, имеет одно и то же значение для всех координат (q, р) в
пространстве QP, полученных из одной такой совокупности координат
посредством КП1). Во-вторых, объем сохраняется при движении, потому что
движение в соответствии с каноническими уравнениями состоит из бесконечно
малого КП (ср. (90.4)).
*) Не существует определения объема, инвариантного относительно
произвольных преобразований (q, р).
§ 99]
ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
347
В статистической механикег) мы рассматриваем огромное число п идентичных
гамильтоновых систем, отличающихся только их начальными условиями.
Суперпозиция этих систем в пространстве QP дает ансамбль ("облако
