Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
функциональный символ; чтобы пояснить это, приведем пример: в обычном
пространстве уравнение между х, у, z определяет поверхность. Можно
написать уравнение этой поверхности в форме / (х, у, z) = 0. (Эта форма
соответствует уравнению (86.2)) или в форме z = F (х, у) (что
соответствует уравнению (86.4)). Опасно писать уравнение в форме z - z(x,
у), если может представиться случай говорить о точке (х, у, z), которая
не лежит на поверхности, потому что тогда имеем z ф z (х, у).
§ 87]
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
289
где w - специальный параметр. Эти уравнения, конечно, заключают в себе
условие Q = const вдоль каждого луча или траектории. Решения системы
(86.6) заполняют пространство QTPH, образуя естественную конгруэнцию
лучей или траекторий, так что через каждую точку пространства проходит
один луч конгруэнции; часть этих кривых заполняют поверхность энергии ?2
= 0. Таким образом, вся совокупность динамических траекторий, включая те,
которые лежат вне поверхности энергии, представляет собой более простую
геометрическую картину, чем та, которую мы имели в QT, где через любую
точку проходили траектории в любом направлении.
§ 87. Канонические преобразования. Билинейный инвариант. При произвольном
преобразовании (х, у)-> ->{х', у') канонические уравнения (86.6) примут
вид
= Xr (X, у), = (X, у). (87.1)
aw aw
Эти новые уравнения будут иметь каноническую форму только в том случае,
если правые части уравнений удовлетворяют условиям *)
дХг = (Щ вУ^ = дУ^ . дХг дУг = 0
-, /" л / * "Ч ' О ' * г\ * Г\ х * \ * /
оу3 дуг дх3 дхГ дхТ дут
Для некоторых целей необходимо допускать общие преобразования, но
особенное значение имеют канонические преобразования2) (х, у)->(х', у'),
которые сохраняют кано-
!) Здесь нет суммирования по одинаковым индексам.
2) В литературе по динамике термины "канонические пре-
образования" и "контактные преобразования" используются почти как
синонимы. Справки см. Голдстейн [7], стр. 261; JI а н-
ч о ш [28] - "контактный". С о г b е п и S t е h 1 е [3], стр. 302,
употребляют выражение обобщенное контактное преобразование для
канонического преобразования в QTPH. О математической связи между
каноническими и контактными преобразованиями см. Caratheodory, op. cit.,
§ 71, стр. 107; Т i е t z Н., Handbuch der Physik, т. II, стр. 193; W i n
t n e г [30], стр. 31. В настоящей книге будет употребляться только
термин каноническое преобразование. О канонических преобразованиях,
производимых в пространстве QTP с помощью естественной конгруэнции, см,
§ 95; о канонических преобразованиях в QP см. § 96
19 Дш, Л. Синг
290
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
ническую форму уравнений лучей или траекторий, т. е. те преобразования,
которые переводят уравнения
в уравнения
dxT _ <9 ?2 а. 1 <9 ?2
dw дут ' dw CD
dx' _ <9 ?2 dyr _ <9 ?2
dw 1 I $4 dw dxT
(87.3)
(87.4)
Понятно, что при каноническом преобразовании (которое мы ради краткости
будем обозначать КП) специальный параметр w должен оставаться неизменным,
а функция энергии ?2 должна рассматриваться как инвариант в смысле
тензорного исчисления [?2 (х, у) = ?2' (х', у')]. Мы рассматриваем только
несингулярные (обратимые) преобразования.
Напишем уравнения
(х\ /6х\ I х'\ (&х'\
s=(J' MsJ' *'=[")' b*'=w> (87-5)
где все правые части представляют собой (2N + 2) х 1-матрицы. Тогда любое
несингулярное преобразование дает соотношения в дифференциальной форме,
6z - J6z', 6z' = J~16z, (87.6)
где J - матрица Якоби порядка (2N + 2) X (2N + 2):
J
( дхг дх'т dys
дх'
ии'ГП
дхТ ^ дУп дУз дуп
det J Ф 0.
(87.7)
Имеем затем
f <9?2Л f <9?2\
dx dx'
W = di2 , w = di2 (81.8)
dy К У dy'
§ 87] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 291
и вводим знак "тильда" для обозначения транспонирования, которое
преобразует одностолбцовую матрицу в матрицу из одной строки. Из
существования инварианта
W 6z = Ш = W' Ьх' (87.9)
или каким-нибудь другим способом, легко заключить, что W преобразуется
согласно закону
W=JW, W = J~1W'. (87.10)
Введем теперь кососимметричную (2N + 2) X (2N -j- 2) числовую матрицу Г,
которая действительно является ключом к алгебре КП:
г ~ - 1 о)' <87Л1>
где 1 поставлена вместо (N + 1) X (N + 1) единичной матрицы. Заметим, что
? = - Г, detr = l, Г2=-1(21у+2), Г'1 = -Г. (87.12)
В этих обозначениях канонические уравнения (87.3) имеют вид
dz = dw-TW. (87.13)
Имеем затем согласно (87.6) и (87.10) следующее соотношение:
dz - dw-TW = J(dz' - dw-/ 1 Г/ W ), (87.14)
и ясно, что условие
/ !Г/ 1 = Г (87.15)
является необходимым и достаточным ограничением, наложенным на J для
того, чтобы преобразование с матрицей Якоби, равной J, было бы
каноническим. Это условие можно записать в эквивалентной форме1):
/Г/=Г, /Г/=Г. (87.16)
1) Вспомним, что мы наложили условие w' = w; если ослабить
это условие, то необходимым и достаточным условием для КП будет /Г/ ==
рГ, где р - скалярный множитель. Линейное преобразование z = Jz'
называется симплектичным (или матрица J называется симплектичной), если J
