Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
; (85.5)
суммирование производится по всем частицам, а (X, У, Z) - заданная сила,
действующая на частицу. Если К имеет эту форму, то теорема К = minimum
известна под названием гауссовой теоремы наименьшей кривизны или
наименьшего принуждения1).
Для более ограниченного случая склерономных связей имеет место условие
Лсрг;р = 0, (85.6)
где Аср зависит только от координат. Остается справедливой теорема о
минимуме кривизны, когда кривизна
1) См. Аппель [2], II, стр. 426; Уиттекер [28], стр. 284-288; L а п с
z о s [15], стр. 106-110. Обсуждение принципа Гаусса, Герца и Журдена см.
Nordhe im [18], стр. 62-69.
S 85]
НАИМЕНЬШАЯ КРИВИЗНА
285
понимается в геометрическом смысле § 84. Рассмотрим:
С - траекторию при заданных силах Qp, в том случае, когда на движение не
наложены связи;
С' - произвольное движение, подчиненное связям;
С" - траекторию, подчиненную связям при наличии заданных сил Qp.
Все три движения имеют общую конфигурацию и скорость. По-прежнему
определяем вектор кривизны равенством (84.9), т. е.
и определим к' и к", которые представляют соответственно кривизны С' и С"
относительно С, следующим образом:
Из уравнений движения для С и С" имеем, согласно (84.8) и (84.13),
следующие уравнения:
kpv2 = Qp - vkp = Qp - XpQaXa, | x"pv2 = Qp - XpQ°Xa + Q'p, |
где Q,p - сила реакции связи, а отсюда
(85.7)
6s
Тогда к'2 - к"2
gpa (и'Р - и"Р) (и,а - и"°) +
+ 2gpa (х'р - х'р) (ха - ха). (85.9)
(х"р - хр) V2 = <?'р; для связанных движений С", С" имеем
(85.11)
(85.12)
дифференцирование этих уравнений дает Пср (Х'Р - ХР) = 0.
(85.13)
286 ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (0) [ГЛ. IV
Но согласно (46.15) или (85.4) сила реакции связи есть
м
Q'p='Z^cAcp, (85.14)
С =1
где Фс - неопределенный множитель; из уравнений (85.11) и (85.13)
следует, что последний член в (85.9) обращается в нуль. Имеем тогда
к'2 - к"2 = gpa (и'р - и"р) (х'° - и"а)>0; (85.15)
из всех подчиненных связям движений, с заданными конфигурацией и
скоростью, действительная траектория имеет наименьшую геометрическую
кривизну по сравнению с траекторией, на которую не наложены связи.
ГЛАВА V
ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ И ЭНЕРГИИ (QTPH)
§ 86. Поверхность энергии и функция энергии. Некоторые важные аспекты
динамической теории лучше всего иллюстрировать, рассматривая изображающие
точки в пространствах более высоких измерений, чем N + 1-мерное
пространство событий QT. Эти пространства: (2N + 2)-мерное пространство
состояний и энергии1) QTPH, (2N + 1)-мерное пространство состояний2) QTP
и 2./У-мерное фазовое пространство QP (как всегда, N обозначает число
степеней свободы системы). Рассмотрим теперь пространство QTPH, отложив
QTP до гл. ДУ1, a QP - до гл. ДУН. Как мы увидим, теорию, развитую для
пространства QTPH, можно приложить к QP простым изменениям обозначений,
при условии, что система в QP консервативна {дН/dt = 0).
В QT PH мы берем в качестве координат3) изображающей точки (2N + 2)
величин qp, t, рр, Н или, в обозначениях (64.1) и (67.6)4),
ХР = Qpi XN+1 = t,
Ур = Рр! Vn+i - Н.
Переменные у,- называют переменными, сопряженными хт.
4) Ланчош называет его расширенным фазовым пространством.
2) Картан называет его l'espace des etats; Картан Э., Интегральные
инварианты, стр. 15.
3) Мы будем рассматривать их в малой окрестности точки. В противном
случае могут потребоваться перекрывающиеся координатные системы (ср. §
63), причем в областях перекрывания (ср. § 87) должны иметь место
канонические преобразования переменных.
4) Как и в § 62, греческие индексы принимают значения 1, 2, . . ., N, а
малые латинские 1, 2, . . ., N + 1 с соответствующими суммированиями в
обоих случаях.
(86.1)
288 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИИ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
Динамическая система определена, если задана (2N + 1)-мерная поверхность
энергии в QTPH и находящаяся на этой поверхности изображающая точка.
Будем вообще писать уравнение поверхности энергии в виде
Q (х, у) = 0. (86.2)
Данной поверхности соответствует бесконечно много уравнений, каждое из
которых представляет ее. Если разрешить уравнение (86.2) относительно
yN+i, то уравнение поверхности энергии можно написать в форме
^ (х, у) = уjv+i + ю (г-i, ..., JCjv+i, уь .. ., yN) = 0 (86.3)
или, в эквивалентном виде1),
H=a(q,t,p). (86.4)
Целесообразно расширить рамки динамики в QTPH, введя в рассмотрение
функцию энергии Q (х, у) вместо поверхности энергии. Заданной функции
энергии соответствует единственная поверхность энергии с уравнением Q (х,
у) = 0; данной поверхности энергии соответствует бесконечно много функций
энергии.
Определим лучи или траектории в пространстве QTPH посредством
вариационного принципа и дополнительного условия
6 ^ уГ dxT = 0, Q (х, у) = const (86.5)
(ср. с (68.5) ), причем концевые значения хГ фиксированы. Отсюда получаем
канонические уравнения
dxг = dQ dy'г_ _ OQ ^ ^
dw дут dw дхг
!) При исследовании пространства QTPH может возникнуть путаница, если
писать Я = Я (q, t, р), потому что Я входит и как координата, и как
