Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет (87.16); ср. W е у 1 Н-, The Classical Groups, Chap. 6
(Princeton, University Press, 1946), Wintner [30], стр. 17, обозначает
матрицу Г через /; Siegel (op. cit, § 53, стр. 9) обозначает ее Q.
19*
292 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
Из (87.16) следует, что det/=±l; позднее, в (88.29), мы докажем, что det
J = 1.
Пусть 6iz и б2z - произвольные независимые вариации; тогда
/ 0 1\(Ь2х\
6j.z-r-62z = (б^г, б2у) I 4 0/ \б2у/ =
(87.17)
являются билинейной формой. Применяя КП (87.6), получаем
б^-Г - 62z - blZ'-JTJ-b2z' = &&'¦ Г-б2г', (87.18)
и, следовательно, КП имеет билинейный инвариант
bixrb2yr - b2xrbiyr = bix'r 62yr - b2Xrbiyr. (87.19)
Легко видеть, что (87.19) есть достаточное условие для каноничности
преобразования. Эта инвариантная билинейная форма может рассматриваться
как основа теории КП, так же как известные инвариантные квадратичные
формы (dx2 + dy2 + dz2) и (dx2 + dy2 + dz2 - dt2) могут считаться
соответственно основами преобразования твердого тела в пространстве и
лоренц-преобразований в пространстве времени. Так же как эти квадратичные
формы определяют квадраты инвариантных элементов длины, так билинейная
форма определяет инвариантный элемент площади
{и, v\ du dv = {и, г] du dv (87.20)
в 2-пространстве с уравнениями хТ = хт (и, v), уг = - уг (м, v),
погруженном в QTPH; здесь {и, v} и {и, v}' - скобки Лагранжа (см. § 89):
(87.21)
и, V
я 1 *" I 1 *" 1 я to 1 1 *" 1
ди dv dv ди
К ^ 1 ** 1 II дуг dx'r дуг
ди dv dv ди
Канонические преобразования образуют группу, ибо они содержат
тождественное преобразование и каждому
§ 88]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
293
КП (х, у) -> (х', у') соответствует единственное обратное КП (х',
у') -> (х, у), а из (87.16) или из билинейного
инварианта следует, что последовательное применение двух КП есть также
КП.
§ 88. Производящие функции. Пусть (х, у) -> (х , у') - некоторое
несингулярное преобразование, не обязательно каноническое. Пусть А, В -
две любые точки пространства QTPH и С - какая-нибудь кривая, соединяющая
их. Рассмотрим интеграл
I (А, В\ С) = ^ (yr dxr - у' dxг') ,
взятый по кривой С от А до В. Здесь
dx; = dx, + ?$ dy"
dxs @Уб
так что на самом деле интеграл имеет вид
I (А, В; С) = ^ (Xsdxs + Ysdys),
где
. dXj- , dxr
Хе - ys Уг - 5 Ys = yr - .
dxs dy8
Договоримся раз и навсегда считать точку А фиксированной, тогда можно
обозначить интеграл через I (В\ С). А если взять точку В совпадающей с А,
так что С - замкнутый контур, то интеграл можно обозначить I (С). Ниже
употребляются и другие, очевидно совершенно аналогичные обозначения.
Придавая А, В и С произвольные вариации, получим из (88.1)
интегрированием по частям
б/(А, В\ С) = [уг Ьхг - у'г 6гг;.)д +
-f ^ [{dxrbyr - bxrdyr) - {dx'Tby'r - bxrdyr)\. (88.5)
Предположим, что преобразование (х, у)->(х', у') - каноническое. Тогда
вследствие существования билиней-
(88.1)
(88.2)
(88.3)
(88.4)
294 ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ И ЭНЕРГИИ (QTPH) [ГЛ. V
ного инварианта (87.19) интеграл в правой части выражения (88.5)
обращается в нуль, т. е. имеем выражение
б/ (А, В; С) = [уг Ьхг - у'т бх'г]а. (88.6)
Отсюда вытекают следствия:
I) Так как вариация / обращается в нуль, когда А и В закреплены, то I (А,
В, С) имеет одно и то же значение для всех допустимых кривых, соединяющих
А и В; в символической форме I (А, В; С) = I (А, В).
II) Если точка А фиксирована, то / (В; С) = I (В), т. е. интеграл -
функция только точки В, многозначная в случае многосвязной области; имеем
угЬх'т - у'г&х'г = Ы (В) (88.7)
для произвольной вариации1) В.
III) Если А и В совпадают, так что С - замкнутый контур и можно
обозначить рассматриваемый интеграл через I (С), то 61 (С) = 0 для
произвольной вариации контура. Этот результат заключает в себе условие,
что I (С) имеет одно и то же значение для всех совместимых
контуров и I (С) = 0 для стягиваемых в точку контуров.
Эквивалентно
ф уг dxr = ^ у; dxr' (88.8)
для каждого стягиваемого в точку контура. Этот результат можно выразить
следующим образом: циркуляция действия по стягиваемому в точку контуру
инвариантна относительно КП. В случае неприводимого контура КП
увеличивает или уменьшает циркуляцию на величину, одинаковую для всех
совместимых контуров.
Согласно (88.7) имеем следующий вывод: если (х, у) -> ->(х\ у') - КП, то
пфаффиан
Уг dxr - у'6х' = Xs.6xs + Ys бys (88.9)
х) То есть при произвольных вариациях (х, у), или, эквивалентно, (х',
у'), КП может быть таким, что переменным (х, х') нельзя придавать
произвольные независимые вариации. Это имеет место в случае
преобразований Матье (см. ниже).
§ 88]
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
295
есть полный дифференциал. Докажем обратное утверждение. Дано
преобразование (х, у) ->(х', у'), так что
ут Ьхг - у'т Ьх'т = Ы (В), (88.10)
где I (В) - некоторая функция переменных (х, у). Возьмем 2-пространство
хт = хт (и, v), уг - ут (и, v), так что {х, у, х', у', I) все являются
функциями переменных и и V. Тогда справедливо уравнение
