Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ан (Г) = \(РР dqp - Hdt)=\ipp dqp - (t -Г) Е. (82.3) г г
Рассмотрим какую-нибудь близкую кривую Г(, соединяющую точки D* и D,
описанную в тот же интервал времени (<*, t) и имеющую соотнесенное ей
векторное поле рр, удовлетворяющее уравнению (82.2) и почти такое же, как
соответствующее векторное поле для Г. Тогда
Ан (Г,) = \ рр dqp - {t - t)E
Г!
и отсюда
6Ан - Ан (Гj) - (Г) - 6 ^ Рр dqp.
Но согласно принципу Гамильтона (68.12) имеем ЬАН = О, поэтому траектория
в пространстве Q удовлетворяет (безотносительно ко времени <) следующему
вариационному уравнению и условию:
6 ^ Рр dqp = 0, Я (q, р) - Е = 0; (82.4)
при этом концевые точки в пространстве Q закреплены.
Если сравнить теперь эту изоэнергетическую динамику в Q с общей динамикой
в QT, основанной на вариационном уравнении (68.5), т. е. на
6 ^ yr dxT = 0, Q (х, у) = 0, (82.5)
то увидим полную тождественность двух динамик, за исключением тривиальных
различий в размерности: N - для случая (82.4) и N + 1 -для (82.5).
Переход от одной динамики к другой осуществляется следующим образом:
^ Qqi Уг * Р р>
Q (х, у) = 0 -" Я (q, р) - Е = 0.
18 Дш. л; Синг
(82.6)
274
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q) [ГЛ. IV
Вся теория, развитая в гл. Д II для общей динамики в пространстве QT,
сохраняется для изоэнергетической динамики в пространстве Q; некоторые
аспекты ее мы обсудим
Заметим, что время t исчезло из уравнений (82.4), так что если мы не
используем ничего, кроме них, то трудно ожидать, что в дальнейшем время
вновь появится в" уравнениях. Однако дело обстоит именно так. В самом
деле, если применить к уравнениям (82.4) метод, с помощью которого мы
находили экстремали уравнения
(68.5), то получаем уравнения
где w - некоторый специальный параметр. Однако мы знаем, что траектории
удовлетворяют каноническим уравнениям (68.16), т. е. уравнениям
Сравнивая их с уравнениями (82.7), видим, что хотя мы исключили время t,
оно войдет как специальный параметр в канонические дифференциальные
уравнения, выведенные из (82.4).
Если мы решили динамическую проблему в пространстве Q, получив некоторую
кривую и поле импульсов вдоль нее, то можно использовать какое-нибудь
одно из уравнений системы (82.8) для того, чтобы найти время t; но можно
для этой цели вывести и новое уравнение, например уравнение
Имеется другой путь нахождения времени движения в изоэнергетической
динамике, который, однако, может быть причиной немалой путаницы. Согласно
этому методу каждой варьированной кривой ставится в соответствие параметр
t следующим образом. Пусть дано некоторое произвольное движение qp =
qp(t), вообще говоря, не
в § 83.
dqp _ дН dpp _ дН
(82.7)
dqp _ дН dpp дН
(82.8)
dt дрр dt dqp
<и = .р° dq>
(82.9)
Pa дН/дра
§ 83]
ДЕЙСТВИЕ МОПЕРТЮИ
275
удовлетворяющее каноническим уравнениям (82.8), а естественный импульс
(ср. (71.11) ) pp(t) пусть задан в виде
где L - лагранжева функция. Подбирая параметр t, можно добиться, чтобы
удовлетворялось уравнение Н {q, р) = Е-, тогда можно записать
вариационное уравнение (82.4) в более ограниченной форме, именно,
при варьировании концевые точки закреплены в Q, но н е закреплены во
времени, причем время t на каждой кривой получается из второго уравнения
(82.11). Это вариационное уравнение является более узким, чем (82.4),
потому что равенства (82.10) накладывают более жесткие ограничения, чем
уравнение Н (q, р) = Е. Видимо, все же будет меньше сомнений, если
использовать более общее уравнение (82.4) и определять время только на
траекториях с помощью уравнения (82.9) или каким-нибудь эквивалентным
способом.
§ 83. Действие Мопертюи. Двухточечная характеристическая функция для
изоэнергетической системы. Однородный лагранжиан. Принцип наименьшего
действия Якоби. Определим действие Мопертюи1) в изоэнергетической
динамике в пространстве Q следующим
!) Хотя интеграл А вида (83.1), (83.3) или (83.4) принято называть одним
словом "действие" (ср. Уиттекер [28], стр. 277; Голдстейн [7], стр. 253,
254), кажется целесообразным иметь какое-то прилагательное, чтобы
отличать этот интеграл от лагранжева или гамильтонова действия; § 64, 68.
Обычно с интегралом А (в частности в форме (83.4) или в форме га \ v ds
для одной частицы) связывают имя Мопертюи. Будем употреблять этот термин,
хотя, может быть, исторически справедливо было бы назвать этот интеграл
"действием Эйлера"; ср. Dugas, цит. соч., § 1, стр. 250-264.
дЬ
(82.10)
(82.11)
18*
276 ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q) [ГЛ. IV
образом:
А = \ рр dqp, (83.1)
где переменные р и q удовлетворяют уравнению энергии Н (q, р) = Е.
(83.2)
Если, кроме того, ограничиться только естественными импульсами рр вида
(82.10), то будем иметь уравнение
А = \ - qp dt. (83.3)
J d'qp
Для системы ОДС при условиях (81.8) имеем
А = 2^ Т dt. (83 Л)
Продолжая аналогию с общей гамильтоновой динамикой в пространстве QT,
определим в изоэнергетической динамике в Q двухточечную
характеристическую функцию следующим образом:
S(D\D) = ^ Рр dqp, (83.5)
