Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы исследовать соотношение между скоростью изображающей точки
(лучевой скоростью) и скоростью волны (волновой скоростью), заметим, во-
первых,
что лучевая скорость равна qp, но что для общей гамильтоновой
динамической системы не существует метода, с помощью которого можно было
бы превратить этот контравариантный вектор в инвариантную величину
скорости. Для того чтобы исследовать волновую скорость, берем точку Е на
поверхности W', близкую к точке D, и обозначим смещение DE через 6 qp.
Так как речь идет об одной движущейся волне, то согласно (81.2) имеем
уравнение
W(t}
Рис. 40. Луч или траектория Г в Q и движущаяся волна постоянного действия
- лагранжева или гамильтонова. За время dt перемещение вдоль луча равно
?)?)', а перемещение волны -DE'.
270
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q) [ГЛ. IV
или, принимая во внимание (74.9), уравнение
Рр &Qp - Н dt = 0. (81.4)
Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять
перемещение bqp вдоль нормали к волне W в точке D. Как известно,
существует нормаль, определенная производной dU/dqp(-pp), однако это -
кова-риантный вектор, в то время как bqp- контравариантный. Поэтому, не
умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном
смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее
что мы можем сделать, это взять bqp вдоль луча (так чтобы Е совпало с Е'
на рис. 40), следовательно, будет иметь место уравнение
Rbqp = dqp - qp dt, (81.5
где множитель пропорциональности R может быть представлен с помощью
следующего отношения:
" _ лучевая скорость ,g| g.
волновая скорость, измеренная вдоль луча '
Умножая уравнение (81.5) на рр и принимая во внимание
(81.4), получаем уравнение
^ __ РрЯр _ Рр_ дН /gI \
Я Я дРр
Наше изложение до сих пор имело максимальную общность. Рассмотрим теперь
обыкновенную динамическую систему1) (ОДС) § 66 и 70; имеем для нее
T=-^apaqpqa, L = Т - V (q), Я = | араррра + V.
(81.8)
9 Существенное требование здесь - тензорный характер ара, это имеет место
также в случае реономной системы (ср. с (27.2)). В последнем случае
необходимо некоторое небольшое изменение формулируемых положений.
§ 81] ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДИНАМИКИ В ПРОСТРАНСТВЕ Q. 271
Тензор ара позволяет ввести инвариантный кинематический линейный элемент
ds в пространстве Q, определенный следующим образом1):
ds2 = ара dqp dqa. (81.9
Естественно определить абсолютную величину лучевой скорости следующим
образом:
v2={jtJ= = 2Т = 2{Е- V), (81.10)
где Е - постоянная2) полная энергия (Е - Н = Т + V). Если воспользоваться
метрикой (81.9), то волна W имеет контравариантную единичную нормаль пР,
определяемую формулами
а**(tm)
dqP
dU dU
dqц dqv
DO DO DO
a Pa _ a Pa __ a Pa (81.11)
Va^PuPv V 2T V2 (E-V)
PuPv
Для того чтобы найти нормальную скорость распространения волны, возьмем
точку Е на нормали к W и D, так что
6qp = ар°Ра dft, (81.12)
i,1) Этот кинематический линейный элемент более полно обсуждается в § 84.
2) Постоянная для луча или траектории Г; нет необходимости полагать Е
повсюду постоянным для когерентной системы. Вывод формулы (81.14) для
волновой скорости из уравнения Гамильтона- Якоби см. Э. Шредингер,
Квантование как задача о собственных значениях (2-е сообщение), в сб.
Вариационные принципы механики, стр. 679-704. См. также Brillouin L., Les
Tenseurs en mecanique et en elasticity, гл. VIII (Paris, Masson, 1938), и
Голдстейн [7], стр. 330.
272
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИЙ (Q)
[ГЛ. XV
где d$ - бесконечно малый множитель, и уравнение
(81.4) дает следующее соотношение:
* = * . (81.13)
dt ар РрРа
Отсюда нормальная скорость и волны определяется выражениями
¦ 2 ара6<7рб<7а _ "ра" " ( ^ \ _
РрР° \ dt) ~
Н Н Е* (81.14)
араррРа 2 (Н - V) 2 (E-V)
§ 82. Изоэнергетическая динамика в пространстве Q и ее отношение к общей
динамике в QT. Рассмотрим консервативную динамическую систему; время t не
входит явно в гамильтониан, так что имеем
Н = Н(д, р). (82.1)
Тогда вдоль любой траектории выполняется уравнение
H(q, р) = Е. (82.2)
Будем называть Е полной энергией, так как Е имеет точно этот смысл в
обыкновенных динамических системах.
Будем изучать изоэнергетическую динамику (ср. § 62) в пространстве Q; под
изоэнергетической динамикой мы понимаем, что Е = const не только вдоль
каждой траектории, но и для всей системы рассматриваемых траекторий, а
также и для тех варьированных кривых, которые придется ввести в ходе
исследования. Итак, Е - постоянная величина в изоэнергетической динамике.
Пусть Е - заданное число, и пусть мы начинаем рассматривать систему в
точке D* пространства Q в момент t* и с некоторыми начальными импульсами,
удовлетворяющими условию (82.2). Пусть Г - кривая, описанная точкой в
пространстве Q в соответствии с уравнениями движения. Затем, если D -
положение изображающей
i 82] ЙЗОЭИЕРГЕТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В ПРОСТРАНСТВЕ Q 273
точки на Г в момент времени t, то гамильтоново действие от точки D* до
точки D согласно (68.1) равно
