Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(18.2) для движущейся частицы.
Так как мы имеем фундаментальный тензор gpa в пространстве Q и
контравариантный сопряженный ему тензор gpa, то можно перейти от
контравариантных компонент к ковариантным и обратно. Ковариантное
ускорение выражается следующей формулой:
_ a _bve d дТ дТ
ар~8р°а = - at W W
Переходя от кинематики к динамике, мы вводим обоб-
х) Дополнительные детали об абсолютных производных см. Synge J. L. and S
с h i 1 d A., Tensor calculus, стр. 47-51, Toronto, 1952. О символах
Кристоффеля см. (18.4).
2) Можно назвать ее геометрической кривизной, в отличие от
динамической кривизны § 85. С точностью до постоянного множителя и равна
кривизне Герца; ср. Г е р ц, цит. соч. в § 61, стр. 89-93.
§ 8*] КИНЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ 281
щенную силу Qp, ковариантный вектор которой определен следующим образом:
Qpbqp = SW, (84.11)
где бW - работа, произведенная при перемещении бqp (б W есть инвариант).
Лагранже вы уравнения движения имеют вид
1L - Л. = Q (84.12)
dt dqp d<f р
и могут быть переписаны в виде
ар - Qp или ар - Qp, (84.13)
где Qp - ковариантный вектор силы. Выраженные сло-
вами, эти уравнения означают: ускорение = силе1).
Нужно заметить, что в то время как физические размерности отдельных
компонент вектора зависят от выбора координат, величина v вектора
скорости имеет размерность
[м2 LT~*\,
вектора
величина а имеет
ускорения
размерность
Можно построить геометрическую картину проблемы устойчивости; пусть на
рис. 41 Г и Г' - две близкие траектории. Соответствие между* их точками
можно установить одним из следующих способов:
I) изохронное соответствие, при котором сопоставляются точки с одним и
тем же значением t; бесконечно
Рис. 41. Девиация в пространстве Q с вектором девиации
траектории
изохронным
1о и нор-Q
мальным вектором девиации Г|
1) Если Qp = 0, то ар = 0, и отсюда согласно (84.8) ч = О, так что
если никакие силы не действуют, траектория есть геоде-
зическая линия.
282 ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИИ (0) [ГЛ. IV
малый вектор девиации (отклонения) изображен вектором ?°, рис. 41;
(II) нормальное соответствие, при котором бесконечно малый вектор
отклонения т]р ортогонален траектории Г, т. е.
r)prp = 0. (84.14)
Между этими двумя типами векторов отклонения существует соотношение
gp =ЦР + 1ЬР, (84.15)
в котором вследствие условия (84.14)
О = ^ . (84.16)
v
Изохронный вектор ?р удовлетворяет уравпению девиации1)
~ + = QU°, (84.17)
01
где - тензор кривизны в пространстве Q с метрикой
(84.2):
Rp ^
.ajxv = -
dqp (<(tm)j dqv
Tl(e)-(T}(e), (84.18)
ovj (Т|АJ (op.) (tv)
a Q\a - ковариантная производная контравариантной
!) Ср. С и н д ж Дж., Тензорные методы в динамике, ИЛ, Москва, 1947. Эта
книга содержит библиографию работ, касающихся динамики с точки зрения
римановой геометрии; см. также Synge J. L., Phil. Trans. Roy. Soc., Lond.
A226, 31-106
§ 85]
НАИМЕНЬШАЯ КРИВИЗНА
283
силы
(84.19)
Уравнение девиации для нормального соответствия несколько более сложно.
Подставляя значение (84.15) в (84.17), получаем с помощью соотношений
(84.13) следующее уравнение:
вместе с соотношением (84.14) имеем N + 1 уравнений для величин Ф и т]Р.
§ 85. Наименьшая кривизна. Сохраняя обозначения § 84, определим для
произвольного кинематически возможного движения с ускорением ар при
наличии заданных сил Q<' динамическую кривизну К, как положительный
квадратный корень из выражения
Так как кинетическая энергия - положительно определенная функция, то это
выражение неотрицательно; К = 0 тогда и только тогда, когда
удовлетворяются уравнения движения (84.13).
Наложим на систему связи (вообще говоря, неголономные) с уравнениями
(ср. (46.2)). Все А - функции координат и С а индекс с принимает значения
1, 2, . . ., М, так что система со связями имеет N - М степеней свободы.
Дифференцирование дает соотношения
К2 = gPa ("Р - <2Р) К - <Л. (85.1)
Acpv<> + Ас = О
(85.2)
Ас раР ~Ь Вс - О
(85.3)
для любого движения со связями; Вс не зависит от ускорения.
284
ПРОСТРАНСТВО КОНФИГУРАЦИИ (Q) [ГЛ. IV
Зададимся теперь вопросом: какое из ускорений аР, удовлетворяющих
уравнениям (85.3), обращает К в минимум? Если считать аР прямоугольными
декартовыми координатами в TV-мерном евклидовом пространстве, то эта
задача эквивалентна задаче о нахождении точки касания эллипсоида (85.1)
(с заданным центром Q и положением) и гиперплоскости, представленной
уравнением (85.3). Легко видеть, что искомые минимизирующие а0'
удовлетворяют уравнениям
м
gPo(aa-Qa)= 2UPI (85.4)
С =1
где ¦О'с - неопределенные множители. Но эти уравнения точно совпадают с
лагранжевыми уравнениями движения
(46.15), и мы заключаем, что подчиненная связям траектория,
удовлетворяющая уравнениям движения, обращает в минимум динамическую
кривизну К, если сравнивать ее с кривизной для произвольных связанных
движений с теми же положениями и скоростью.
Для системы частиц выражение (85.1) в обычных обозначениях выглядит как
К2 = ^т
+[у- т / - v
ТТЬ J \ тть / V тть
