Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
релятивистских сил можно обсуждать в смысле аналогичной жесткой
конструкции в пространстве - времени. Однако на этом и кончается аналогия
между НД и РД. В НД мы имеем в какое-нибудь (абсолютное) время t
конфигурацию частиц с приложенными к ним векторами скорости (например,
система рис. 1). В РД мы имеем только множество мировых линий и нет
очевидного пути для установления единственного соответствия между
событиями на нескольких мировых линиях. Для того чтобы установить
J) Преобразование Лоренца это - линейное преобразование с детерминантом
+1 или -1. В первом случае это - собственное преобразование, во втором-
несобственное. (Ср. § 106).
Рис. 2. Взаимодействие в релятивистской динамике.
зо
ВЕЕДЕНИЕ
соответствие между несколькими событиями и одним и тем же значением t, не
существует никакого лоренц-инвариантного метода.
Наиболее естественный путь установить соотношение между событиями на
мировых линиях - выделить нулевую линию. Рассмотрим систему, состоящую из
двух частиц с постоянными собственными массами mu tn2. Пусть Wi, W2 - их
мировые линии (рис. 2). При рассмотрении вопроса удобно использовать
координаты Мин-ковского хг (индексы малых латинских букв принимают
значения 1, 2, 3, 4 и предполагается, что по повторяющимся индексам
ведется суммирование). Полагаем
х = Xi, у = х2, z = х3, it = xk, (5.8)
где i = У'-1. Пусть А с координатами хг - событие
на мировой линии W4. Проведем из А как из вершины нулевой конус1) в
прошлое, пусть он пересечет линию W2 в точке В с координатами ж', тогда В
А - нулевая линия, и мы имеем
(хг - Хг, (хт - хг') = 0. (5.9)
Пусть (см. рис. 2,
n dXr . . , LLXf " /га r\\
Xr - -r~ в точке л, лг = з- в точке В, (5.10)
as as
где ds, ds'- элементы собственного времени соответственно на Wi, W2.
Две мировые линии и события А, В на них доставляют нам следующие векторы:
/л л . dXr dXr , ж v
хт хт, Хг, Хг, , • ¦ • (5.11)
У равнения вида
ds ds'
d2x
= (5.12)
ds
l) Cp. § 107.
§ 5] НЬЮТОНОВА И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ 31
для мировые линии Wu вместе с аналогичными уравнениями для W2,
представляют удобную формулировку проблемы двух тел в РД, при условии,
что Хт - вектор, построенный из векторов (5.11) и из инвариантов,
образованных из них. Легко видеть, что это требование выполнено для
Хг = а (хг - О + + уК + б ^ + е ^ , (5.13
'
ds ds'
где коэффициенты - заданные функции инвариантов
^ = (з*П %П) ^ ~ (^п ^п) ^П 1 I
W=(xn-x^)^, W'=(Xn-Xn)^,
ds ds
r (5.14)
. dKn . , dhn dhn dhr
An ----- , An
ds'
ds ds ds'
Записывая уравнения для Wz, мы используем события С, D (см. рис. 2)
вместо событий А, В и вносим соответствующие изменения в уравнения.
Сохранение массы обеспечено условием
XX = 0 (5.15)
или
а - р + уКК + вК = 0 (5.16)
ds'
(ср. с (4.11)); сохранение массы т2 гарантировано аналогичным условием.
Хотя уравнения вида (5.12) удовлетворяют условию лоренц-ковариантности,
они представляют проблему значительно более сложную, чем та, с которой мы
встречаемся в НД. Эти уравнения появляются как дифференциальные
уравнения, но так как они включают два события А и В, то по своей природе
это - разностные уравнения вследствие эффекта "запаздывания" имеющего
32
ВВЕДЕНИЕ
место для события В. Общепринятыми уравнениями движения для двух частиц,
несущих электрические заряды еи е2, являются уравнения вида (5.12);
коэффициенты в уравнении (5.13) даны выражениями1)
4яс2а
е^е2 (W' - 1
4яс у = -
w \ w ete2wW'
кк
1
di;
ds'
w
w
4яс2е =
eie2w
w'2
(5.17)
другие коэффициенты равны нулю.
Подведем итоги. Для одной частицы в заданном поле силы, как в ньютоновой,
так и в релятивистской динамике, необходимо решить систему из трех
дифференциальных уравнений. Но для системы взаимодействующих частиц
дифференциальные уравнения ньютоновой механики заменяются в теории
относительности дифференциально-разностными уравнениями; эти уравнения
представляют столь значительные математические трудности, что только
некоторые предельные случаи могут быть разрешены приближенными
методами2).
!) Заряды измерены в рациональных единицах Хевисайда; чтобы перевести их
в гауссовы электростатические единицы, надо зачеркнуть множитель 4я.
Множитель с - скорость света. Вывод этих формул см. В. Паули, Теория
относительности, пер. с нем., Москва, 1947. Ср. также J. L. Synge,
Relativity, The Special Theory, стр. 394, 423, Amsterdam, North-Holland,
1956.
2) Cp. Darwin C. G., Phil. Mag. (6) 39, 537 (1920); Synge J. L., Proc.
Roy. Soc., Lond., Ser. A177, 118 (1940).
Б. КИНЕМАТИКА
ГЛАВА I ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 6. Перемещения, параллельные плоскости. Положение твердого тела вполне
определяется положением какой-нибудь плоскости его сечения, и то же верно
относительно перемещений твердого тела, которые, параллельны
фиксированной плоскости; их можно исследовать, рассматривая перемещения
пластинки в своей плоскости.
Такое перемещение можно описать, указав, что две точки пластинки,
занимавшие первоначально положения А к В, переместились в положения А' и
