Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование Z -> Z' на плоскости вызывает преобразование единичной
сферы в себя (я, у, z)->(х', у',z). Оно будет жестким (т. е. движением
твердого тела), если сохраняется элемент dx2 + dy2 + dz2, т. е. если
dZ 'dZ'
dZ dZ
(Z'Z' + iy (ZZ + 1)2
(13.3)
Легко убедиться, что это условие выполняется при преобразовании
pZ + q
Z' =
- qZ +p
(13.4)
где p, q - произвольные комплексные числа (стереографические параметры),
удовлетворяющие условию
рр + qq = 1.
(13.5)
так что три из них могут быть заданы произвольно. Вычисление показывает,
что
J = (qz - p) (qZ - p)
Z Z + 1 ZZ + 1
(13.6)
и отсюда, принимая во внимание (13.1), получим формулы 2Z'
х + iy' =
Z 'Z' + 1
=р2 (х + iy)- q (х - iy) - 2pqz, x'-iy ' = p2(x - iy) - q2(x + iy) -
2'pqz,
, ZZ- 1 ~ Z'Z' + 1 ~
= pq (x + iy) + pq (x - iy) + (pp - qq) z. _
) (13.7)
52
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
Итак, мы имеем преобразование г' = Mr, матрица М которого такова:
(у(Р2+/>2 - ?2- Чг) у г (Д2 -Д2-Ь?2 -?2) -РЧ-РЧ
j'(-P2+i,2+?2-?2) у (д2+Д2+?г + ?2) 1(РЧ~РЧ)
рч+рч Нрч-рч) рр-чч
(13.8)
Преобразование i->г', как нетрудно заметить, является жестким
преобразованием единичной сферы в себя, но так как оно линейно и
однородно, то оно представляет жесткое вращение всего пространства.
Некоторые свойства вращения очевидны из формулы
(13.4). Так, если в (13.4) подставить Z = -q/p, то Z '= 0; следовательно,
точка на единичной сфере, соответствующая точке Z = - q/p на плоскости,
переходит при этом преобразовании в точку (0,0,-1). Аналогично,
подстановка Z = p/q дает Z' = оо, так что соответствующая точка сферы
переходит в (0,0,1). Ось вращения может быть найдена, если положить Z' =
Z и решить получающееся таким образом квадратное уравнение.
Мы свяжем параметры Эйлера (X, |х, v, q) со стереографическими
параметрами (р, q)1), сравнив матрицы (10.9) и (13.8); ранее мы выразили
(^, р, v, q) через углы Эйлера (О, ф, ф) формулами (11.7), если е = 1.
Существует, конечно, неопределенность в выборе знака в выражениях
параметров Эйлера через стереографические параметры, потому что матрица
(13.8) не изменяется, если одновременно изменить знаки р и q. Выбирая
определенный знак, получим
I • * а?1 (ф + ф)
р = q + tv = cos у ,
?
.. . 1 а
q = iX - р - - sin у ve1 ?
(13.9)
i) Необходимые элементы теории групп см. Murnaghan, стр. 328 (цит.
соч. в § 10).
§ 14]
СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ
53
Параметры Кэли - Клейна (а, р, у, б) определяются следующими формулами1):
, . 1 <ч Ь(ф+Ф)
а-p = Q + iv = cos пе2 ,
О . -II - ¦ ¦ 1 о. 4*(ф-1|>)
р = - ig = а + = I sin - хтег ,
&
, , . ..1а -4г(ф-ф)
у = - iq = - a -f- щ. = 1 sin - хте ^ ,
&
с - . 1а -^Нф+Ф)
О = р = Q - IV = COS ив
&
(13.10)
J
Вследствие (13.5) они удовлетворяют условию унимодулярности:
"jj. =ав-уР = 1; (13.11)
воспользовавшись этими обозначениями, можно записать матрицу (10.9) или
(13.8) в виде
/-j(a2+ P2+Y2+62) i- j(a2_p2^_Y2_52) _8(сф+уб)\
M ' ii(_a2_p2 + Y2+62 i (cry+06)
1
(a2 - 02__y2_^62) _ap^_Y6
-cry + 06 a6+0y /
(13.12)
§ 14. Спиновые матрицы Паули. Две 2x2 спиновые матрицы Паули и единичная
квадратная матрица определяются следующим образом2)
01 =
03 =
0 1
1 0
1 0
0-1
02 = 1 =
0 - i
1 о
1 0\
0 1 Г
(14.1)
г) Мы следуем в обозначениях Уиттекеру [28], стр. 25-27.
2) В обозначениях мы следуем Голд стейн у [7],
стр. 132-134 и Р а u 1 i W. (Handbuch der Pbysik, т. V, стр. 109).
Murnaghan (цит. соч. в § 10, стр. 191) и Т i е t z ( Handbuch
der Physik, т. II, стр. 191) определяют вторую матрицу с обрат-
ным знаком.
54 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
Заметим, что все матрицы а-эрмитовы (то есть <г+=<г) и все они унитарные
(<г<г+ = 1) и что след1) каждой равен нулю.
Легко непосредственно проверить следующую таблицу умножения
2 2 2 ч
ц4 - Ц2 - <Г3 - 1,
= - Оз(r)2 = ^1, o3Oi = - O1O3 = i<f2,
<Ti<T2 = - =
Сравнение с правилами (12.2) показывает, что три матрицы TQ = -iffg (q =
1, 2, 3) подчиняются правилам для кватернионов2).
Любая 2 X 2-матрица может быть выражена в виде линейной комбинации матриц
<Ti, <г2, о3 и 1; независимо от того, какие заданы значения для
коэффициентов a,b,c,d, будем иметь
(с d) = 4(&+c)<Ti+4i(&-c)<T2+
+ ~2 (а - ^) °з + ~2 (а + d) 1. (14.3)
Если след данной матрицы равен нулю (а + d = 0),
последний член исчезает. Если, кроме того, матрица
эрмитова (a, d - действительные числа, с = Ь), то коэффициенты при О; -
действительные числа.
Матрицы Паули связаны с трехмерной геометрией тождеством
/ z x - iy\
р- С+lv _,]-*".+№-*",; (Н.Ч
любая точка (х, у, z) определяет, таким образом, матрицу,
1) След (trace или spur) матрицы-сумма ее диагональных элементов.
2) В § 12 гамильтоновы обозначения (г, /', к) использованы для
кватернионных единиц; но если ]/ - 1 имеет обычный смысл как в матрицах
(14.1), то путаницы можно избежать, переменив обозначения (г, /', к) на
(/, J, К) или (elt е2, е3).
§ 14] СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ 55
и обратно, каждая эрмитова 2 X 2-матрица со следом, равным нулю,
определяет точку (х, у, z).
